Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
integral0^1 e^-x^2 d x
para que a aproximação tenha erro menor que 10^-4 nos casos:
b) Fórmula de Simpson. (Resp: ns=6 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de integral0^1 e^-x^2 , dx de 0 até 1, ou seja:
Estamos usando a Fórmula de Simpson para aproximar essa integral. O que temos que descobrir é quantos subintervalos ( ) a gente precisa dividir o intervalo [0, 1] para que a aproximação tenha um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Fórmula de Simpson para aproximar integrais:
integrala^b f(x) , dx approx De
Onde e deve ser par.

Passo 3

Para garantir que o erro da aproximação seja menor que E <= (b - a)^5180 n^4 maxa <= x <= b |f^(4)(x)| , usamos a fórmula do erro da Fórmula de Simpson:
Precisamos achar uma estimativa para a quarta derivada de no intervalo [0, 1].

Passo 4

Calculando a quarta derivada de f^(4)(x) = e^-x^2 (12x^2 - 12) , encontramos que:
|f^(4)(0)| = |12 cdot 0^2 - 12| cdot e^0 = 12
Para no intervalo [0, 1], o máximo valor de ocorre em :
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
E <= (1 - 0)^5180 n^4 cdot 12 = 12180 n^4 = 115 n^4
Queremos que esse erro seja menor que 115 n^4 < 10^-4 :

Passo 6

Resolvendo a inequação para 15 n^4 > 10^4 n^4 > 10^415 n^4 > 1000015 n^4 > 6666 n > raiz[4]6666 n > 5.28 :
Como precisa ser par, arredondamos para o próximo número par, que é 6.

Resposta

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