Considere as integrais:
b) .
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral usando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos. A Quadratura Gaussiana é um método numérico para calcular integrais aproximadas, especialmente útil quando não conseguimos resolver a integral exatamente. Vamos precisar conhecer os pontos e pesos da Quadratura Gaussiana padrão no intervalo e ajustar para o intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a Quadratura Gaussiana padrão funciona no intervalo . Como nossa integral está no intervalo , precisamos fazer uma mudança de variável para adaptar a quadratura ao nosso intervalo. Usamos a transformação:
Onde e . Isso facilita a aplicação dos pontos e pesos padrão da quadratura.

Passo 3

Vamos calcular a nova variável em termos de :
E a diferencial :
Então, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Quadratura Gaussiana com 2 pontos. Os pontos e pesos padrão para 2 pontos são:
Substituindo:

Passo 5

Vamos calcular a soma dos pesos multiplicados pela função avaliada nos pontos:
Substituindo os valores de e :
Calculando as raízes:

Passo 6

Agora, vamos fazer a mesma coisa com a Quadratura Gaussiana de 3 pontos. Os pontos e pesos padrão para 3 pontos são:

Passo 7

Calculando a soma dos pesos multiplicados pela função avaliada nos pontos:
Substituindo os valores de , e :
Calculando as raízes:

Resposta

A estimativa da integral usando a Quadratura Gaussiana é aproximadamente:
  • Com 2 pontos:
  • Com 3 pontos:

Exercícios relacionados

Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
d) (Resp:
Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
a) (Resp:
Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que nos casos:
b) Fórmula de Simpson. (Resp: )
Calcule as integrais a seguir usando as regras do trapézio e de Simpson repetidas, com quatro subdivisões de . Compare os resultados:
(a)