Considere as integrais:
b)
.
Estime
por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
b)
Estime
Passo 1
Ok, vamos resolver a integral
usando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos. A Quadratura Gaussiana é um método numérico para calcular integrais aproximadas, especialmente útil quando não conseguimos resolver a integral exatamente. Vamos precisar conhecer os pontos e pesos da Quadratura Gaussiana padrão no intervalo
e ajustar para o intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a Quadratura Gaussiana padrão funciona no intervalo
. Como nossa integral está no intervalo
, precisamos fazer uma mudança de variável para adaptar a quadratura ao nosso intervalo. Usamos a transformação:
Onde
e
. Isso facilita a aplicação dos pontos e pesos padrão da quadratura.
Passo 3
Vamos calcular a nova variável
em termos de
:
E a diferencial
:
Então, a integral original fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Quadratura Gaussiana com 2 pontos. Os pontos e pesos padrão para 2 pontos são:
Substituindo:
Passo 5
Vamos calcular a soma dos pesos multiplicados pela função avaliada nos pontos:
Substituindo os valores de
e
:
Calculando as raízes:
Passo 6
Agora, vamos fazer a mesma coisa com a Quadratura Gaussiana de 3 pontos. Os pontos e pesos padrão para 3 pontos são:
Passo 7
Calculando a soma dos pesos multiplicados pela função avaliada nos pontos:
Substituindo os valores de
,
e
:
Calculando as raízes:
Resposta
A estimativa da integral
usando a Quadratura Gaussiana é aproximadamente:
- Com 2 pontos:
- Com 3 pontos:
Exercícios relacionados
Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para
, e o erro relativo cometido, com
d) (Resp:
d)
Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para
, e o erro relativo cometido, com
a) (Resp:
a)
Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que
nos casos:
b) Fórmula de Simpson. (Resp: )
b) Fórmula de Simpson. (Resp:
Calcule as integrais a seguir usando as regras do trapézio e de Simpson repetidas, com quatro subdivisões de
. Compare os resultados:
(a)
(a)