Considere as integrais:
b) I=integral1^3 raizx d x.
Estime I por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral usando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos. A Quadratura Gaussiana é um método numérico para calcular integrais aproximadas, especialmente útil quando não conseguimos resolver a integral exatamente. Vamos precisar conhecer os pontos e pesos da Quadratura Gaussiana padrão no intervalo e ajustar para o intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a Quadratura Gaussiana padrão funciona no intervalo x = b - a2 t + a + b2 . Como nossa integral está no intervalo , precisamos fazer uma mudança de variável para adaptar a quadratura ao nosso intervalo. Usamos a transformação:
Onde e . Isso facilita a aplicação dos pontos e pesos padrão da quadratura.

Passo 3

Vamos calcular a nova variável x = 3 - 12 t + 1 + 32 = t + 2 em termos de dx = b - a2 dt = 1 cdot dt = dt :
I = integral-1^1 raizt + 2 cdot 1 , dt
E a diferencial :
Então, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Quadratura Gaussiana com 2 pontos. Os pontos e pesos padrão para 2 pontos são:
t1 = -raiz1raiz3, t2 = raiz1raiz3
w1 = w2 = 1
Substituindo:
t1 = -1raiz3 approx -0,5774, t2 = 1raiz3 approx 0,5774

Passo 5

Vamos calcular a soma dos pesos multiplicados pela função avaliada nos pontos:
I approx w1 f(t1) + w2 f(t2) = raizt1 + 2 + raizt2 + 2
Substituindo os valores de I approx raiz-0,5774 + 2 + raiz0,5774 + 2 = raiz1,4226 + raiz2,5774 e I approx 1,1927 + 1,6067 = 2,7994 :
Calculando as raízes:

Passo 6

Agora, vamos fazer a mesma coisa com a Quadratura Gaussiana de 3 pontos. Os pontos e pesos padrão para 3 pontos são:
t1 = -raiz35 approx -0,7746, t2 = 0, t3 = raiz35 approx 0,7746
w1 = w3 = 59, w2 = 89

Passo 7

Calculando a soma dos pesos multiplicados pela função avaliada nos pontos:
I approx 59 raizt1 + 2 + 89 raizt2 + 2 + 59 raizt3 + 2
Substituindo os valores de I approx 59 raiz-0,7746 + 2 + 89 raiz0 + 2 + 59 raiz0,7746 + 2 , I approx 59 raiz1,2254 + 89 raiz2 + 59 raiz2,7746 approx 59 cdot 1,106 + 89 cdot 1,4142 + 59 cdot 1,665 e I approx 0,6156 + 1,2573 + 0,925 = 2,7989 :
Calculando as raízes:

Resposta

A estimativa da integral usando a Quadratura Gaussiana é aproximadamente:
  • Com 2 pontos:
  • Com 3 pontos:

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