Calcule a integral convertendo-a antes para
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Vamos precisar usar o conteúdo de integração em coordenadas polares e entender como converter a integral de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está limitada por
de 0 a
, e
de
a 0. Isso descreve um quarto de círculo no segundo quadrante (onde
é negativo e
é positivo) com raio
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
são representados por:
Aqui,
é a distância ao ponto de origem e
é o ângulo com o eixo positivo
.
Passo 4
Também precisamos lembrar que quando mudamos para coordenadas polares, a diferencial de área
se transforma em
. Então, nossa integral vai ganhar esse fator extra
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos no segundo quadrante e dentro de um círculo de raio
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral original por suas expressões em coordenadas polares, temos:
E lembrando do Jacobiano
, a integral fica:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 9
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Passo 10
Para resolver a integral
, podemos usar a substituição
, então
. Assim:
Passo 11
Aplicando os limites de integração:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 12
Finalmente, multiplicamos esse resultado pelo
:
Resposta
A integral vale
.