Calcule a integral convertendo-a antes para C P:
integral0^a integral-raiza^2-y^2^0 y x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
integral0^a integral-raiza^2-y^2^0 y x^2 , dx , dy
Vamos precisar usar o conteúdo de integração em coordenadas polares e entender como converter a integral de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está limitada por de 0 a , e de a 0. Isso descreve um quarto de círculo no segundo quadrante (onde é negativo e é positivo) com raio .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, x = r cos theta y = r sin theta e são representados por:
Aqui, é a distância ao ponto de origem e é o ângulo com o eixo positivo .

Passo 4

Também precisamos lembrar que quando mudamos para coordenadas polares, a diferencial de área se transforma em . Então, nossa integral vai ganhar esse fator extra .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos no segundo quadrante e dentro de um círculo de raio r: 0 a a theta: pi2 a pi :

Passo 6

Substituindo y = r sin theta x^2 = (r cos theta)^2 = r^2 cos^2 theta e integralpi2^pi integral0^a (r sin theta) cdot (r^2 cos^2 theta) cdot r , dr , dtheta na integral original por suas expressões em coordenadas polares, temos:
E lembrando do Jacobiano , a integral fica:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(r sin theta) cdot (r^2 cos^2 theta) cdot r = r^4 sin theta cos^2 theta
Então, a integral fica:
integralpi2^pi integral0^a r^4 sin theta cos^2 theta , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^a r^4 , dr = [ r^55 ]0^a = a^55 :

Passo 9

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
a^55 integralpi2^pi sin theta cos^2 theta , dtheta

Passo 10

Para resolver a integral integral sin theta cos^2 theta , dtheta = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3 theta3 + C , podemos usar a substituição , então . Assim:

Passo 11

Aplicando os limites de integração:
[ -cos^3 theta3 ]pi2^pi = -cos^3 pi3 + cos^3 pi23
Sabendo que -(-1)^33 + 0^33 = 13 e , temos:

Passo 12

Finalmente, multiplicamos esse resultado pelo a^55 cdot 13 = a^515 :

Resposta

A integral vale .

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