Calcule a integral convertendo-a antes para :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Vamos precisar usar o conteúdo de integração em coordenadas polares e entender como converter a integral de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está limitada por de 0 a , e de a 0. Isso descreve um quarto de círculo no segundo quadrante (onde é negativo e é positivo) com raio .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e são representados por:
Aqui, é a distância ao ponto de origem e é o ângulo com o eixo positivo .

Passo 4

Também precisamos lembrar que quando mudamos para coordenadas polares, a diferencial de área se transforma em . Então, nossa integral vai ganhar esse fator extra .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos no segundo quadrante e dentro de um círculo de raio :

Passo 6

Substituindo e na integral original por suas expressões em coordenadas polares, temos:
E lembrando do Jacobiano , a integral fica:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 9

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:

Passo 10

Para resolver a integral , podemos usar a substituição , então . Assim:

Passo 11

Aplicando os limites de integração:
Sabendo que e , temos:

Passo 12

Finalmente, multiplicamos esse resultado pelo :

Resposta

A integral vale .

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Deduza a fórmula da regra dos trapézios repetidos para o cálculo aproximado de uma integral.
Dada a tabela de pontos abaixo e considerando a forma de Newton para o polinômio interpolador:
0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
a - Obtenha utilizando um polinômio de grau 2 e um polinômio de grau 5.
Encontre a raiz positiva da função aplicando o método de NewtonRaphson inicializando-o em . Realize as iterações até obter estabilidade no quinto dígito significativo. (R: )
Encontre a solução da equação aplicando o método de Newton-Raphson sabendo que esta solução se encontra no intervalo . Realize as iterações até obter estabilidade no terceiro dígito significativo. ( )