Calcule a integral convertendo-a antes para
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Vamos precisar usar o conteúdo de integração em coordenadas polares e entender como converter a integral de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está limitada por
de 0 a
, e
de
a 0. Isso descreve um quarto de círculo no segundo quadrante (onde
é negativo e
é positivo) com raio
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
são representados por:
Aqui,
é a distância ao ponto de origem e
é o ângulo com o eixo positivo
.
Passo 4
Também precisamos lembrar que quando mudamos para coordenadas polares, a diferencial de área
se transforma em
. Então, nossa integral vai ganhar esse fator extra
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos no segundo quadrante e dentro de um círculo de raio
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral original por suas expressões em coordenadas polares, temos:
E lembrando do Jacobiano
, a integral fica:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 9
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Passo 10
Para resolver a integral
, podemos usar a substituição
, então
. Assim:
Passo 11
Aplicando os limites de integração:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 12
Finalmente, multiplicamos esse resultado pelo
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Deduza a fórmula da regra dos trapézios repetidos para o cálculo aproximado de uma integral.
Dada a tabela de pontos abaixo e considerando a forma de Newton para o polinômio interpolador:
|
0.2 | 0.34 | 0.4 | 0.52 | 0.6 | 0.72 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0.16 | 0.22 | 0.27 | 0.29 | 0.32 | 0.37 |
a - Obtenha
utilizando um polinômio de grau 2 e um polinômio de grau 5.
Encontre a raiz positiva da função
aplicando o método de NewtonRaphson inicializando-o em
. Realize as iterações até obter estabilidade no quinto dígito significativo. (R:
)
Encontre a solução da equação
aplicando o método de Newton-Raphson sabendo que esta solução se encontra no intervalo
. Realize as iterações até obter estabilidade no terceiro dígito significativo. (
)