Encontre a raiz positiva da função f(x)=cos x-x^2 aplicando o método de NewtonRaphson inicializando-o em x^(0)=1. Realize as iterações até obter estabilidade no quinto dígito significativo. (R: x^*=0,82413 )

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a raiz positiva da função usando o método de Newton-Raphson, começando com . Vamos precisar entender como funciona esse método iterativo para encontrar raízes de funções e aplicar as fórmulas passo a passo até chegar à resposta com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Newton-Raphson. É uma técnica para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função real. A fórmula para atualizar a estimativa da raiz é:
x^(n+1) = x^(n) - f(x^(n))f'(x^(n))
Aqui, é a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função f'(x) = -sin(x) - 2x :

Passo 4

Agora, começamos as iterações com f(1) = cos(1) - 1^2 approx 0.5403 - 1 = -0.4597 :
Iteração 1:
f'(1) = -sin(1) - 2(1) approx -0.8415 - 2 = -2.8415
x^(1) = 1 - -0.4597-2.8415 approx 1 - 0.1613 = 0.8387

Passo 5

Iteração 2:
f(0.8387) = cos(0.8387) - (0.8387)^2 approx 0.6683 - 0.7032 = -0.0349
f'(0.8387) = -sin(0.8387) - 2(0.8387) approx -0.7435 - 1.6774 = -2.4209
x^(2) = 0.8387 - -0.0349-2.4209 approx 0.8387 - 0.0144 = 0.8243

Passo 6

Iteração 3:
f(0.8243) = cos(0.8243) - (0.8243)^2 approx 0.6803 - 0.6792 = 0.0011
f'(0.8243) = -sin(0.8243) - 2(0.8243) approx -0.7332 - 1.6486 = -2.3818
x^(3) = 0.8243 - 0.0011-2.3818 approx 0.8243 + 0.0005 = 0.8248

Passo 7

Iteração 4:
f(0.8248) = cos(0.8248) - (0.8248)^2 approx 0.6800 - 0.6800 = 0.0000
f'(0.8248) = -sin(0.8248) - 2(0.8248) approx -0.7328 - 1.6496 = -2.3824
x^(4) = 0.8248 - 0.0000-2.3824 = 0.8248

Resposta

A raiz positiva da função encontrada pelo método de Newton-Raphson é aproximadamente .

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