Deduza a fórmula da regra dos trapézios repetidos para o cálculo aproximado de uma integral.
Passo 1
Então, o que precisamos fazer aqui é deduzir a fórmula da regra dos trapézios repetidos, que serve para calcular de forma aproximada a integral de uma função. Vamos usar conceitos de cálculo integral e aproximar a área sob a curva dividindo-a em vários trapézios menores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra do trapézio simples. Essa regra aproxima a integral de uma função
em um intervalo
usando um único trapézio. A fórmula é:
Aqui,
é a base do trapézio, e
e
são as alturas nos pontos extremos.
Passo 3
Agora, vamos imaginar que queremos melhorar essa aproximação dividindo o intervalo
em
subintervalos menores, cada um com largura
. Isso nos leva à regra dos trapézios repetidos.
Passo 4
Para cada um desses subintervalos, aplicamos a regra do trapézio simples. Mas, como estamos somando várias áreas de trapézios, precisamos considerar que os pontos internos são usados duas vezes (uma vez em cada trapézio adjacente).
Passo 5
Montando a soma, temos:
onde
,
e
para
.
Passo 6
Simplificando, a fórmula final da regra dos trapézios repetidos fica:
Resposta
A fórmula deduzida para a regra dos trapézios repetidos é:
onde
e
para
.