Deduza a fórmula da regra dos trapézios repetidos para o cálculo aproximado de uma integral.

Passo 1

Então, o que precisamos fazer aqui é deduzir a fórmula da regra dos trapézios repetidos, que serve para calcular de forma aproximada a integral de uma função. Vamos usar conceitos de cálculo integral e aproximar a área sob a curva dividindo-a em vários trapézios menores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do trapézio simples. Essa regra aproxima a integral de uma função em um intervalo usando um único trapézio. A fórmula é:
Aqui, é a base do trapézio, e e são as alturas nos pontos extremos.

Passo 3

Agora, vamos imaginar que queremos melhorar essa aproximação dividindo o intervalo em subintervalos menores, cada um com largura . Isso nos leva à regra dos trapézios repetidos.

Passo 4

Para cada um desses subintervalos, aplicamos a regra do trapézio simples. Mas, como estamos somando várias áreas de trapézios, precisamos considerar que os pontos internos são usados duas vezes (uma vez em cada trapézio adjacente).

Passo 5

Montando a soma, temos:
onde , e para .

Passo 6

Simplificando, a fórmula final da regra dos trapézios repetidos fica:

Resposta

A fórmula deduzida para a regra dos trapézios repetidos é:
onde e para .

Exercícios relacionados

Dada a tabela de pontos abaixo e considerando a forma de Newton para o polinômio interpolador:
0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
a - Obtenha utilizando um polinômio de grau 2 e um polinômio de grau 5.
Para a equação e considerando o método do ponto fixo, faça uma análise da convergência, utilizando os critérios de convergência, de ambas as funções abaixo:

Calcule a integral convertendo-a antes para :
Encontre a raiz positiva da função aplicando o método de NewtonRaphson inicializando-o em . Realize as iterações até obter estabilidade no quinto dígito significativo. (R: )