Deduza a fórmula da regra dos trapézios repetidos para o cálculo aproximado de uma integral.

Passo 1

Então, o que precisamos fazer aqui é deduzir a fórmula da regra dos trapézios repetidos, que serve para calcular de forma aproximada a integral de uma função. Vamos usar conceitos de cálculo integral e aproximar a área sob a curva dividindo-a em vários trapézios menores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do trapézio simples. Essa regra aproxima a integral de uma função integrala^b f(x) , dx approx b - a2 [ f(a) + f(b) ] em um intervalo usando um único trapézio. A fórmula é:
Aqui, é a base do trapézio, e e são as alturas nos pontos extremos.

Passo 3

Agora, vamos imaginar que queremos melhorar essa aproximação dividindo o intervalo em subintervalos menores, cada um com largura . Isso nos leva à regra dos trapézios repetidos.

Passo 4

Para cada um desses subintervalos, aplicamos a regra do trapézio simples. Mas, como estamos somando várias áreas de trapézios, precisamos considerar que os pontos internos são usados duas vezes (uma vez em cada trapézio adjacente).

Passo 5

Montando a soma, temos:
integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn) ]
onde , e para .

Passo 6

Simplificando, a fórmula final da regra dos trapézios repetidos fica:
integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(a) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(b) ]

Resposta

A fórmula deduzida para a regra dos trapézios repetidos é:
integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(a) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(b) ]
onde e para .

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