Dada a tabela de pontos abaixo e considerando a forma de Newton para o polinômio interpolador:
|
0.2 | 0.34 | 0.4 | 0.52 | 0.6 | 0.72 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0.16 | 0.22 | 0.27 | 0.29 | 0.32 | 0.37 |
a - Obtenha
utilizando um polinômio de grau 2 e um polinômio de grau 5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de
e
, e a missão é encontrar o valor de
usando dois polinômios interpoladores: um de grau 2 e outro de grau 5. Vamos usar a forma de Newton para construir esses polinômios. Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação polinomial e como aplicar as diferenças divididas de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher quais pontos da tabela vamos usar para construir o polinômio de grau 2. Como queremos interpolar próximo de
, os pontos mais próximos são
,
e
. Esses três pontos serão suficientes para um polinômio de segundo grau.
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas de Newton para esses três pontos. As diferenças divididas são uma maneira de calcular os coeficientes do polinômio interpolador. Vamos organizar nossos pontos assim:
-
, -
, -
,
Primeiro, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
Em seguida, a diferença dividida de segunda ordem:
Passo 4
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton de grau 2:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos substituir
no polinômio
para encontrar
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, vamos construir o polinômio de grau 5 usando todos os pontos da tabela. Para isso, calculamos as diferenças divididas para todos os seis pontos. Isso envolve mais cálculos, mas o procedimento é o mesmo: calcular as diferenças divididas de primeira, segunda, até a quinta ordem.
Passo 7
Após calcular todas as diferenças divididas, montamos o polinômio de Newton de grau 5:
Passo 8
Finalmente, substituímos
no polinômio
para obter
. Os cálculos são mais extensos, mas seguindo o mesmo método, chegamos ao valor final.
Resposta
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Para a equação
e considerando o método do ponto fixo, faça uma análise da convergência, utilizando os critérios de convergência, de ambas as funções abaixo:
Supondo que
e
estejam representados corretamente, calcule o módulo do erro relativo de
. Considere RA como o erro relativo de arredondamento a cada operação.
Deduza a fórmula da regra dos trapézios repetidos para o cálculo aproximado de uma integral.
Calcule a integral convertendo-a antes para
: