Dada a tabela de pontos abaixo e considerando a forma de Newton para o polinômio interpolador:
0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
a - Obtenha utilizando um polinômio de grau 2 e um polinômio de grau 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e a missão é encontrar o valor de usando dois polinômios interpoladores: um de grau 2 e outro de grau 5. Vamos usar a forma de Newton para construir esses polinômios. Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação polinomial e como aplicar as diferenças divididas de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais pontos da tabela vamos usar para construir o polinômio de grau 2. Como queremos interpolar próximo de , os pontos mais próximos são , e . Esses três pontos serão suficientes para um polinômio de segundo grau.

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas de Newton para esses três pontos. As diferenças divididas são uma maneira de calcular os coeficientes do polinômio interpolador. Vamos organizar nossos pontos assim:
  • ,
  • ,
  • ,
Primeiro, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
Em seguida, a diferença dividida de segunda ordem:

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton de grau 2:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos substituir no polinômio para encontrar :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 6

Agora, vamos construir o polinômio de grau 5 usando todos os pontos da tabela. Para isso, calculamos as diferenças divididas para todos os seis pontos. Isso envolve mais cálculos, mas o procedimento é o mesmo: calcular as diferenças divididas de primeira, segunda, até a quinta ordem.

Passo 7

Após calcular todas as diferenças divididas, montamos o polinômio de Newton de grau 5:

Passo 8

Finalmente, substituímos no polinômio para obter . Os cálculos são mais extensos, mas seguindo o mesmo método, chegamos ao valor final.

Resposta

usando o polinômio de grau 2 e usando o polinômio de grau 5.

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