Encontre a solução da equação
aplicando o método de Newton-Raphson sabendo que esta solução se encontra no intervalo
. Realize as iterações até obter estabilidade no terceiro dígito significativo. (
)
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar a solução da equação
usando o método de Newton-Raphson. O método de Newton-Raphson é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores de
que tornam a função igual a zero. Aqui, estamos buscando o valor de
no intervalo
que satisfaz a equação. Para resolver isso, vamos precisar definir uma função relacionada à equação e sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de forma que possamos aplicar o método de Newton-Raphson. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Essa será nossa função
:
Agora, precisamos da derivada dessa função
para aplicar o método:
Passo 3
O método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula para iterar e aproximar a raiz:
Vamos começar escolhendo um valor inicial
dentro do intervalo
. Vamos escolher
.
Passo 4
Calculando
e
:
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 5
Agora, calculamos
e
:
Aplicando novamente a fórmula:
Passo 6
Vamos verificar a estabilidade no terceiro dígito significativo:
A diferença é aproximadamente
, que afeta o terceiro dígito. Vamos realizar mais uma iteração para confirmar.
Passo 7
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula novamente:
Agora, a diferença entre
e
é de
, que é menor que
, confirmando a estabilidade no terceiro dígito.
Resposta
A solução da equação
no intervalo
é
.
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aplicando o método de NewtonRaphson inicializando-o em
. Realize as iterações até obter estabilidade no quinto dígito significativo. (R:
)
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:
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. (Sugestão: Construa uma tabela para isolar as raízes e em cada intervalo aplique o método de Newton-Raphson).
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aplicando o método de Newton-Raphson com uma tolerância de
. (R:
)