Encontre a solução da equação aplicando o método de Newton-Raphson sabendo que esta solução se encontra no intervalo . Realize as iterações até obter estabilidade no terceiro dígito significativo. ( )

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar a solução da equação usando o método de Newton-Raphson. O método de Newton-Raphson é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores de que tornam a função igual a zero. Aqui, estamos buscando o valor de no intervalo que satisfaz a equação. Para resolver isso, vamos precisar definir uma função relacionada à equação e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicar o método de Newton-Raphson. Subtraindo de ambos os lados, temos:
Essa será nossa função :
Agora, precisamos da derivada dessa função para aplicar o método:

Passo 3

O método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula para iterar e aproximar a raiz:
Vamos começar escolhendo um valor inicial dentro do intervalo . Vamos escolher .

Passo 4

Calculando e :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 5

Agora, calculamos e :
Aplicando novamente a fórmula:

Passo 6

Vamos verificar a estabilidade no terceiro dígito significativo:
A diferença é aproximadamente , que afeta o terceiro dígito. Vamos realizar mais uma iteração para confirmar.

Passo 7

Calculando e :
Aplicando a fórmula novamente:
Agora, a diferença entre e é de , que é menor que , confirmando a estabilidade no terceiro dígito.

Resposta

A solução da equação no intervalo é .

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