Encontre a solução da equação e^-x=x aplicando o método de Newton-Raphson sabendo que esta solução se encontra no intervalo [0,1]. Realize as iterações até obter estabilidade no terceiro dígito significativo. ( R: x=0,567 )

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar a solução da equação usando o método de Newton-Raphson. O método de Newton-Raphson é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores de que tornam a função igual a zero. Aqui, estamos buscando o valor de no intervalo que satisfaz a equação. Para resolver isso, vamos precisar definir uma função relacionada à equação e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação e^-x - x = 0 de forma que possamos aplicar o método de Newton-Raphson. Subtraindo f(x) = e^-x - x de ambos os lados, temos:
f'(x) = -e^-x - 1
Essa será nossa função :
Agora, precisamos da derivada dessa função para aplicar o método:

Passo 3

O método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula para iterar e aproximar a raiz:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos começar escolhendo um valor inicial dentro do intervalo . Vamos escolher .

Passo 4

Calculando f(0,5) = e^-0,5 - 0,5 approx 0,6065 - 0,5 = 0,1065 e f'(0,5) = -e^-0,5 - 1 approx -0,6065 - 1 = -1,6065 :
x1 = 0,5 - 0,1065-1,6065 approx 0,5 + 0,0663 = 0,5663
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 5

Agora, calculamos f(0,5663) = e^-0,5663 - 0,5663 approx 0,5680 - 0,5663 = 0,0017 e f'(0,5663) = -e^-0,5663 - 1 approx -0,5680 - 1 = -1,5680 :
x2 = 0,5663 - 0,0017-1,5680 approx 0,5663 + 0,0011 = 0,5674
Aplicando novamente a fórmula:

Passo 6

Vamos verificar a estabilidade no terceiro dígito significativo:
x2 = 0,5674
x1 = 0,5663
A diferença é aproximadamente , que afeta o terceiro dígito. Vamos realizar mais uma iteração para confirmar.

Passo 7

Calculando f(0,5674) = e^-0,5674 - 0,5674 approx 0,5670 - 0,5674 = -0,0004 e f'(0,5674) = -e^-0,5674 - 1 approx -0,5670 - 1 = -1,5670 :
x3 = 0,5674 - -0,0004-1,5670 approx 0,5674 + 0,0003 = 0,5677
Aplicando a fórmula novamente:
Agora, a diferença entre e é de , que é menor que , confirmando a estabilidade no terceiro dígito.

Resposta

A solução da equação no intervalo é .

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