Calcule a integral definida de f(x) = raizx no intervalo [0, 4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 4. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Ela representa a área sob a curva da função integrala^b f(x) , dx entre os limites de integração, que no nosso caso são 0 e 4. A fórmula geral para a integral definida é:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral x^1/2 , dx . Primeiro, reescrevemos integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C como para facilitar a integração.
Para integrar , usamos a regra:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, onde integral x^1/2 , dx = x^1/2 + 11/2 + 1 + C = x^3/23/2 + C = 23 x^3/2 + C :

Passo 5

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 4. Isso significa que vamos calcular:
[ 23 x^3/2 ]0^4 = 23 (4)^3/2 - 23 (0)^3/2

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
  1. 23 times 8 - 23 times 0 = 163 - 0 = 163 : Primeiro calculamos a raiz quadrada de 4, que é 2, e depois elevamos ao cubo: .
  2. .
Então:

Resposta

A integral definida de no intervalo de 0 a 4 é .

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