Calcule a integral definida de no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 4. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Ela representa a área sob a curva da função entre os limites de integração, que no nosso caso são 0 e 4. A fórmula geral para a integral definida é:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de . Primeiro, reescrevemos como para facilitar a integração.
Para integrar , usamos a regra:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, onde :

Passo 5

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 4. Isso significa que vamos calcular:

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
  1. : Primeiro calculamos a raiz quadrada de 4, que é 2, e depois elevamos ao cubo: .
  2. .
Então:

Resposta

A integral definida de no intervalo de 0 a 4 é .

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Determine a primitiva de .
Resolva a equação quadrática .
Calcule a integral definida de no intervalo .
Determine o valor de que satisfaz a equação .