Calcule o limite de limx to 0 1 - e^-xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição de limite e algumas propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que e^-x = 1 - x + x^22! - x^33! + dots é a função exponencial, que pode ser expandida em uma série de Taylor. Perto de , a expansão de é:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão original:
1 - e^-x = 1 - (1 - x + x^22 - x^36 + dots) = x - x^22 + x^36 - dots

Passo 4

Dividimos essa expressão por 1 - e^-xx = x - x^22 + x^36 - dotsx = 1 - x2 + x^26 - dots :

Passo 5

Agora, ao calcular o limite quando limx to 0 1 - e^-xx = 1 , todos os termos que contêm ou potências de vão desaparecer, pois tendem a zero. Assim, sobra apenas:

Resposta

limx to 0 1 - e^-xx = 1

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