Calcule a integral definida de f(x) = sin xx de 0 a infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de a . Esse tipo de integral chama-se integral imprópria porque envolve o limite quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, especialmente sobre integrais de funções oscilatórias e limites.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a integral não tem uma antiderivada simples que possamos escrever usando funções elementares. Isso significa que não podemos encontrar uma função primitiva facilmente. Então, como a gente resolve isso?

Passo 3

Uma das maneiras de resolver essa integral é utilizando o conceito de limites. Vamos reescrever a integral como um limite:
integral0^infty sin xx , dx = limA to infty integral0^A sin xx , dx
Agora, precisamos avaliar essa integral limitada de a e depois ver o que acontece quando vai para o infinito.

Passo 4

A integral limA to infty Si(A) = pi2 é conhecida como a função seno integral, denotada por . As propriedades dessa função nos dizem que:
Isso significa que, à medida que cresce sem limite, o valor da integral se aproxima de .

Passo 5

Então, juntando tudo, temos que:
integral0^infty sin xx , dx = limA to infty Si(A) = pi2

Resposta

A integral definida de de a é igual a .

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