Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde a região de integração é definida por e . Vamos precisar entender os limites de integração e utilizar o cálculo de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No eixo , varia de até . Para cada valor de , varia de até . Isso forma uma área sob a curva entre e .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites definidos:

Passo 4

Primeiro, vamos integrar em relação a . Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula da integração por partes :

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Para :
Para :
Então, a integral completa é:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:
Determine:
Determine o volume do sólido que se encontra: $a) Abaixo do paraboloide e acima da região limitada pelas curvas e .$
Use integral tripla para calcular volume do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos . Esboce o sólido.