Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde a região de integração é definida por e . Vamos precisar entender os limites de integração e utilizar o cálculo de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . No eixo , varia de até . Para cada valor de , varia de até . Isso forma uma área sob a curva entre e .
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites definidos:
Passo 4
Primeiro, vamos integrar em relação a . Como é constante em relação a , a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a x:
integral1^e x^3 ln(x) , dx
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
u = ln(x)Rightarrowdu = 1x , dx
dv = x^3 , dxRightarrowv = x^44
Aplicando a fórmula da integração por partes uv - integral v , du:
x^44 ln(x) - integral x^44 cdot 1x , dx = x^44 ln(x) - 14 integral x^3 , dx
= x^44 ln(x) - 14 cdot x^44 + C = x^44 ln(x) - x^416 + C