Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração: integral duplaD x^3 d A, D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= e, 0 <= y <= ln (x)

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD x^3 , dA, onde a região de integração D é definida por 1 <= x <= e e 0 <= y <= ln(x). Vamos precisar entender os limites de integração e utilizar o cálculo de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. No eixo x, x varia de 1 até e. Para cada valor de x, y varia de 0 até ln(x). Isso forma uma área sob a curva y = ln(x) entre x = 1 e x = e.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites definidos:
integralx=1^e integraly=0^ln(x) x^3 , dy , dx

Passo 4

Primeiro, vamos integrar em relação a y. Como x^3 é constante em relação a y, a integral fica:
integral0^ln(x) x^3 , dy = x^3 cdot y |0^ln(x) = x^3 cdot ln(x)

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x:
integral1^e x^3 ln(x) , dx
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
  • u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
  • dv = x^3 , dx Rightarrow v = x^44
Aplicando a fórmula da integração por partes uv - integral v , du:
x^44 ln(x) - integral x^44 cdot 1x , dx = x^44 ln(x) - 14 integral x^3 , dx
= x^44 ln(x) - 14 cdot x^44 + C = x^44 ln(x) - x^416 + C

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de 1 a e:
[ x^44 ln(x) - x^416 ]1^e
Para x = e:
e^44 ln(e) - e^416 = e^44 cdot 1 - e^416 = e^44 - e^416 = 4e^4 - e^416 = 3e^416
Para x = 1:
1^44 ln(1) - 1^416 = 0 - 116 = -116
Então, a integral completa é:
3e^416 - ( -116 ) = 3e^416 + 116 = 3e^4 + 116

Resposta

A integral dupla é igual a dfrac3e^4 + 116.

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