Determine o volume do sólido que se encontra: $a) Abaixo do paraboloide e acima da região limitada pelas curvas e .$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide e acima da região delimitada pelas curvas e . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Vamos desenhar as curvas e para ver onde elas se intersectam.

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Substituindo na primeira equação:
Então, ou . Portanto, os pontos de interseção são (0,0) e (2,2).

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para entre 0 e 2, varia de a . Isso porque está à esquerda de nesse intervalo.

Passo 5

O volume é dado pela integral dupla da função que representa o paraboloide, ou seja, , sobre a região :

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral:

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 8

Substituindo os limites de integração:

Passo 9

Simplificando a expressão:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Passo 11

Calculando os valores:

Passo 12

Simplificando mais:

Passo 13

Convertendo tudo para frações sobre 35:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:
Use integral tripla para calcular volume do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos . Esboce o sólido.
Calcule a integral iterada:
a)
b)
c)
: a) 0
b)