Determine o volume do sólido que se encontra: $a) Abaixo do paraboloide a) Abaixo do paraboloide e acima da região limitada pelas curvas e acima da região limitada pelas curvas e e .$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide e acima da região delimitada pelas curvas e . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Vamos desenhar as curvas e para ver onde elas se intersectam.

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
x = y^2 - y
y = x
Substituindo x = x^2 - x na primeira equação:
0 = x^2 - 2x
x(x - 2) = 0
Então, ou . Portanto, os pontos de interseção são (0,0) e (2,2).

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para entre 0 e 2, varia de a . Isso porque está à esquerda de nesse intervalo.

Passo 5

O volume V = integral duplaR (3x^2 + y^2) , dx , dy é dado pela integral dupla da função que representa o paraboloide, ou seja, , sobre a região :

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral:
V = integraly=0^2 integralx=y^2-y^y (3x^2 + y^2) , dx , dy

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a integralx=y^2-y^y (3x^2 + y^2) , dx = [ x^3 + y^2x ]x=y^2-y^y :

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
[ y^3 + y^2 cdot y ] - [ (y^2-y)^3 + y^2(y^2-y) ] = y^3 + y^3 - (y^6 - 3y^5 + 3y^4 - y^3) - (y^4 - y^3)

Passo 9

Simplificando a expressão:
2y^3 - y^6 + 3y^5 - 3y^4 + y^3 - y^4 + y^3 = 4y^3 - y^6 + 3y^5 - 4y^4

Passo 10

Agora, integramos em relação a V = integral0^2 (4y^3 - y^6 + 3y^5 - 4y^4) , dy = [ y^4 - y^77 + 3y^66 - 4y^55 ]0^2 :

Passo 11

Calculando os valores:
V = ( 2^4 - 2^77 + 3 cdot 2^66 - 4 cdot 2^55 ) - 0 = 16 - 1287 + 32 - 1285

Passo 12

Simplificando mais:
V = (16 + 32) - ( 1287 + 1285 ) = 48 - ( 128 cdot 5 + 128 cdot 735 ) = 48 - 128(5+7)35 = 48 - 128 cdot 1235 = 48 - 153635

Passo 13

Convertendo tudo para frações sobre 35:
48 = 168035
Então:
V = 168035 - 153635 = 1680 - 153635 = 14435

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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