Determine o volume do sólido que se encontra: $a) Abaixo do paraboloide
e acima da região limitada pelas curvas
e
.$
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide
e acima da região delimitada pelas curvas
e
. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Vamos desenhar as curvas
e
para ver onde elas se intersectam.
Passo 3
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
ou
. Portanto, os pontos de interseção são (0,0) e (2,2).
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para
entre 0 e 2,
varia de
a
. Isso porque
está à esquerda de
nesse intervalo.
Passo 5
O volume
é dado pela integral dupla da função que representa o paraboloide, ou seja,
, sobre a região
:
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral:
Passo 7
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Passo 11
Calculando os valores:
Passo 12
Simplificando mais:
Passo 13
Convertendo tudo para frações sobre 35:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:
Use integral tripla para calcular volume do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
. Esboce o sólido.
Calcule a integral iterada:
a)
b)
c)
: a) 0
b)
a)
b)
c)
b)