Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas que calculam volumes sob superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites das integrais dizem que
varia de 0 a 1 e, para cada
,
também varia de 0 a 1. Isso significa que estamos trabalhando sobre um quadrado no plano
com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).
Passo 3
Agora, olha a parte da função dentro da integral:
. Isso representa a superfície
. É uma superfície plana que desce conforme
e
aumentam.
Passo 4
Para esboçar o sólido, imagine o quadrado que mencionamos no plano
. Sobre cada ponto desse quadrado, a altura do sólido é dada por
. Então, o sólido é como uma espécie de telhado inclinado sobre o quadrado, indo de
no ponto (0,0) até menores valores de
conforme
e
aumentam.
Resposta
O sólido é um prisma inclinado limitado pelo quadrado
e
no plano
, e pela superfície plana
acima desse quadrado. Visualmente, é como um telhado plano que começa no ponto mais alto (0,0,4) e desce em direção aos cantos onde
diminui conforme
e
aumentam.
Exercícios relacionados
Determine:
Determine a integral tripla em
para:
a)
b) ; em que
é a região abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada por
.
c) , em que
é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
.
d) é o tetraedro sólido de vértices
.
R: a) 4
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
R: a) 4
b)
c)
d)
Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
Determine o volume do sólido que se encontra: $a) Abaixo do paraboloide
e acima da região limitada pelas curvas
e
.$