Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral iterada . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas que calculam volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites das integrais dizem que varia de 0 a 1 e, para cada , também varia de 0 a 1. Isso significa que estamos trabalhando sobre um quadrado no plano com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).

Passo 3

Agora, olha a parte da função dentro da integral: . Isso representa a superfície . É uma superfície plana que desce conforme e aumentam.

Passo 4

Para esboçar o sólido, imagine o quadrado que mencionamos no plano . Sobre cada ponto desse quadrado, a altura do sólido é dada por . Então, o sólido é como uma espécie de telhado inclinado sobre o quadrado, indo de no ponto (0,0) até menores valores de conforme e aumentam.

Resposta

O sólido é um prisma inclinado limitado pelo quadrado e no plano , e pela superfície plana acima desse quadrado. Visualmente, é como um telhado plano que começa no ponto mais alto (0,0,4) e desce em direção aos cantos onde diminui conforme e aumentam.

Exercícios relacionados

Determine:
Determine a integral tripla em para:
a)
b) ; em que é a região abaixo do plano e acima da região do plano limitada por .
c) , em que é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , .
d) é o tetraedro sólido de vértices .
R: a) 4
b)
c)
d)
Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
Determine o volume do sólido que se encontra: $a) Abaixo do paraboloide e acima da região limitada pelas curvas e .$