Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única
de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
, com erro absoluto menor que
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Método da Bisseção. A gente tem a equação
e queremos encontrar a solução única
no intervalo
. Nosso objetivo é chegar numa aproximação dessa solução com um erro absoluto menor que
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Bisseção e aplicar alguns cálculos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método da Bisseção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual delas a função muda de sinal. Essa mudança de sinal indica que a raiz está nesse subintervalo. Repetimos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que o erro desejado.
Passo 3
Vamos começar verificando os valores da função nos extremos do intervalo:
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que existe uma raiz no intervalo
devido ao Teorema do Valor Intermediário.
Passo 4
Agora, vamos dividir o intervalo ao meio e calcular
no ponto médio:
Como
é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Vamos repetir o processo com o novo intervalo
:
Ainda negativo, então a raiz está em
.
Passo 6
Continuamos dividindo
:
Agora,
está muito próximo de zero, mas ainda negativo. A raiz está em
.
Passo 7
Mais uma divisão no intervalo
:
Agora,
é positivo, então a raiz está em
.
Passo 8
Vamos verificar o erro atual. A largura do intervalo é:
Como
não é verdadeiro, precisamos de mais uma divisão.
\
Passo 9
Dividindo
:
Como
é positivo, a raiz está em
.
Passo 10
Verificando o erro:
Ainda maior que
. Vamos dividir novamente.
Passo 11
Dividindo
:
Como
é positivo, a raiz está em
.
Passo 12
Agora, a largura do intervalo é:
Como
, atingimos o critério de erro desejado.
Resposta
Aproximamos a solução única
da equação
no intervalo
pelo valor:
Este valor garante um erro absoluto menor que
.
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