Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única barx de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
x^3-sen x=0 ; barx in[0.4,1], com erro absoluto menor que varepsilon=0.01;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Método da Bisseção. A gente tem a equação e queremos encontrar a solução única no intervalo . Nosso objetivo é chegar numa aproximação dessa solução com um erro absoluto menor que . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Bisseção e aplicar alguns cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método da Bisseção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual delas a função muda de sinal. Essa mudança de sinal indica que a raiz está nesse subintervalo. Repetimos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que o erro desejado.

Passo 3

Vamos começar verificando os valores da função nos extremos do intervalo:
f(a) = f(0.4) = (0.4)^3 - sin(0.4) approx 0.064 - 0.3894 = -0.3254
f(b) = f(1) = (1)^3 - sin(1) approx 1 - 0.8415 = 0.1585
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe uma raiz no intervalo devido ao Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo ao meio e calcular m = a + b2 = 0.4 + 12 = 0.7 no ponto médio:
f(m) = f(0.7) = (0.7)^3 - sin(0.7) approx 0.343 - 0.6442 = -0.3012
Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos repetir o processo com o novo intervalo m = 0.7 + 12 = 0.85 :
f(0.85) = (0.85)^3 - sin(0.85) approx 0.6141 - 0.7518 = -0.1377
Ainda negativo, então a raiz está em .

Passo 6

Continuamos dividindo m = 0.85 + 12 = 0.925 :
f(0.925) = (0.925)^3 - sin(0.925) approx 0.7910 - 0.7985 = -0.0075
Agora, está muito próximo de zero, mas ainda negativo. A raiz está em .

Passo 7

Mais uma divisão no intervalo m = 0.925 + 12 = 0.9625 :
f(0.9625) = (0.9625)^3 - sin(0.9625) approx 0.8915 - 0.8210 = 0.0705
Agora, é positivo, então a raiz está em .

Passo 8

Vamos verificar o erro atual. A largura do intervalo é:
|b - a| = 0.9625 - 0.925 = 0.0375
Como não é verdadeiro, precisamos de mais uma divisão.
\

Passo 9

Dividindo m = 0.925 + 0.96252 = 0.94375 :
f(0.94375) = (0.94375)^3 - sin(0.94375) approx 0.8400 - 0.8080 = 0.0320
Como é positivo, a raiz está em .

Passo 10

Verificando o erro:
|b - a| = 0.94375 - 0.925 = 0.01875
Ainda maior que . Vamos dividir novamente.

Passo 11

Dividindo m = 0.925 + 0.943752 = 0.934375 :
f(0.934375) = (0.934375)^3 - sin(0.934375) approx 0.8155 - 0.8058 = 0.0097
Como é positivo, a raiz está em .

Passo 12

Agora, a largura do intervalo é:
|b - a| = 0.934375 - 0.925 = 0.009375
Como , atingimos o critério de erro desejado.

Resposta

Aproximamos a solução única barx approx 0.934375 da equação no intervalo pelo valor:
Este valor garante um erro absoluto menor que .

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