Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
, com erro absoluto menor que ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Método da Bisseção. A gente tem a equação e queremos encontrar a solução única no intervalo . Nosso objetivo é chegar numa aproximação dessa solução com um erro absoluto menor que . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Bisseção e aplicar alguns cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método da Bisseção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual delas a função muda de sinal. Essa mudança de sinal indica que a raiz está nesse subintervalo. Repetimos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que o erro desejado.

Passo 3

Vamos começar verificando os valores da função nos extremos do intervalo:
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe uma raiz no intervalo devido ao Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo ao meio e calcular no ponto médio:
Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos repetir o processo com o novo intervalo :
Ainda negativo, então a raiz está em .

Passo 6

Continuamos dividindo :
Agora, está muito próximo de zero, mas ainda negativo. A raiz está em .

Passo 7

Mais uma divisão no intervalo :
Agora, é positivo, então a raiz está em .

Passo 8

Vamos verificar o erro atual. A largura do intervalo é:
Como não é verdadeiro, precisamos de mais uma divisão.
\

Passo 9

Dividindo :
Como é positivo, a raiz está em .

Passo 10

Verificando o erro:
Ainda maior que . Vamos dividir novamente.

Passo 11

Dividindo :
Como é positivo, a raiz está em .

Passo 12

Agora, a largura do intervalo é:
Como , atingimos o critério de erro desejado.

Resposta

Aproximamos a solução única da equação no intervalo pelo valor:
Este valor garante um erro absoluto menor que .

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