Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A matriz
é malcondicionada para quaisquer valores de
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para responder se a matriz
é malcondicionada para quaisquer valores de
pertencentes aos números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser malcondicionada e como calcular o seu número de condição.
Passo 2
Primeiro, o que é uma matriz malcondicionada? Em matemática, uma matriz é considerada malcondicionada se pequenas alterações nos dados de entrada resultam em grandes mudanças na solução do sistema linear associado a essa matriz. Para medir isso, usamos o número de condição da matriz, denotado por
. Quanto maior for
, mais malcondicionada a matriz é.
Passo 3
Para calcular o número de condição
, geralmente usamos a norma 2, que está relacionada aos valores singulares da matriz. O número de condição é dado por:
onde
é o maior valor singular e
é o menor valor singular da matriz
.
Passo 4
Vamos encontrar os valores singulares de
. Para isso, precisamos calcular os autovalores de
, onde
é a transposta de
. Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Os autovalores de
são encontrados resolvendo a equação característica:
onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Após resolver essa equação, obtemos os valores singulares
e
.
Passo 6
Após calcular os valores singulares, podemos determinar o número de condição
. Se
for muito grande, tipicamente maior que
, a matriz é considerada malcondicionada.
Passo 7
Analisando a matriz
, percebemos que quando
varia, os valores singulares e, consequentemente, o número de condição também variam. Para certos valores de
, especialmente quando
é pequeno, a matriz pode não ser tão sensível a alterações, ou seja, não tão malcondicionada.
Resposta
Falso. A matriz
não é malcondicionada para todos os valores de
, pois seu número de condição varia com
e pode ser pequeno para certos valores desse parâmetro.
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se
for simétrica e positiva definida.
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são:
. Então o traço de
é 7 e o determinante de
é 15 .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de
são:
. Então
é simétrica.
Calcule