Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A matriz A=(cc1+epsilon & 2 1 & 2) é malcondicionada para quaisquer valores de epsilon in R.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para responder se a matriz 1+epsilon & 2 1 & 2 é malcondicionada para quaisquer valores de pertencentes aos números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser malcondicionada e como calcular o seu número de condição.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz malcondicionada? Em matemática, uma matriz é considerada malcondicionada se pequenas alterações nos dados de entrada resultam em grandes mudanças na solução do sistema linear associado a essa matriz. Para medir isso, usamos o número de condição da matriz, denotado por . Quanto maior for , mais malcondicionada a matriz é.

Passo 3

Para calcular o número de condição kappa(A) = sigmamáxsigmamín , geralmente usamos a norma 2, que está relacionada aos valores singulares da matriz. O número de condição é dado por:
áí
onde á é o maior valor singular e í é o menor valor singular da matriz .

Passo 4

Vamos encontrar os valores singulares de A^T = 1+epsilon & 1 2 & 2 . Para isso, precisamos calcular os autovalores de A^T A = (1+epsilon)^2 + 1^2 & (1+epsilon)cdot2 + 1cdot2 (1+epsilon)cdot2 + 1cdot2 & 2^2 + 2^2 = (1+epsilon)^2 + 1 & 2(1+epsilon) + 2 2(1+epsilon) + 2 & 8 , onde é a transposta de . Primeiro, calculamos :

Passo 5

Os autovalores de det(A^T A - lambda I) = 0 são encontrados resolvendo a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Após resolver essa equação, obtemos os valores singulares e .

Passo 6

Após calcular os valores singulares, podemos determinar o número de condição . Se for muito grande, tipicamente maior que , a matriz é considerada malcondicionada.

Passo 7

Analisando a matriz , percebemos que quando varia, os valores singulares e, consequentemente, o número de condição também variam. Para certos valores de , especialmente quando é pequeno, a matriz pode não ser tão sensível a alterações, ou seja, não tão malcondicionada.

Resposta

Falso. A matriz não é malcondicionada para todos os valores de , pois seu número de condição varia com e pode ser pequeno para certos valores desse parâmetro.

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