Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A matriz é malcondicionada para quaisquer valores de .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para responder se a matriz é malcondicionada para quaisquer valores de pertencentes aos números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser malcondicionada e como calcular o seu número de condição.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz malcondicionada? Em matemática, uma matriz é considerada malcondicionada se pequenas alterações nos dados de entrada resultam em grandes mudanças na solução do sistema linear associado a essa matriz. Para medir isso, usamos o número de condição da matriz, denotado por . Quanto maior for , mais malcondicionada a matriz é.

Passo 3

Para calcular o número de condição , geralmente usamos a norma 2, que está relacionada aos valores singulares da matriz. O número de condição é dado por:
áí
onde á é o maior valor singular e í é o menor valor singular da matriz .

Passo 4

Vamos encontrar os valores singulares de . Para isso, precisamos calcular os autovalores de , onde é a transposta de . Primeiro, calculamos :

Passo 5

Os autovalores de são encontrados resolvendo a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Após resolver essa equação, obtemos os valores singulares e .

Passo 6

Após calcular os valores singulares, podemos determinar o número de condição . Se for muito grande, tipicamente maior que , a matriz é considerada malcondicionada.

Passo 7

Analisando a matriz , percebemos que quando varia, os valores singulares e, consequentemente, o número de condição também variam. Para certos valores de , especialmente quando é pequeno, a matriz pode não ser tão sensível a alterações, ou seja, não tão malcondicionada.

Resposta

Falso. A matriz não é malcondicionada para todos os valores de , pois seu número de condição varia com e pode ser pequeno para certos valores desse parâmetro.

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Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então o traço de é 7 e o determinante de é 15 .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então é simétrica.
Calcule