(1,0) Calcule a integral integral0^pi e^2 sen(x) d x pela Regra 1 / 3 de Simpson para 8 subintervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra 1/3 de Simpson com 8 subintervalos. Essa regra é uma técnica numérica para aproximar integrais definidas. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo em 8 partes iguais e aplicar a fórmula de Simpson.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de h = b - an . A fórmula para h = pi - 08 = pi8 é:
onde , e . Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, dots, 8 que dividem o intervalo x0 = 0 . Eles são calculados assim:
x1 = pi8
Calculando cada x2 = 2pi8 = pi4 :
vdots
x8 = pi

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor da função f(xi) = e^2 sin(xi) em cada ponto f(x0) = e^2 sin(0) = e^0 = 1 :
f(x1) = e^2 sin(pi8) approx e^2 cdot 0.3827 approx e^0.7654 approx 2.149
Vamos calcular cada f(x2) = e^2 sin(pi4) approx e^2 cdot 0.7071 approx e^1.4142 approx 4.113 :
vdots
f(x8) = e^2 sin(pi) = e^0 = 1

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra 1/3 de Simpson. A fórmula é:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumímpares f(xi) + 2 sumpares f(xi) + f(xn) ] í
Isso significa que somamos os valores de nos pontos ímpares multiplicados por 4, os valores nos pontos pares multiplicados por 2, e adicionamos e .

Passo 6

Vamos agora somar os valores conforme a fórmula:
Somatório ímpares = f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(x7) approx 2.149 + 3.362 + 3.362 + 2.149 = 10.022 óí
Somatório pares = f(x2) + f(x4) + f(x6) approx 4.113 + 3.610 + 3.610 = 11.333 ó
Então,
Integral approx pi/83 [ 1 + 4 cdot 10.022 + 2 cdot 11.333 + 1 ]

Passo 7

Calculando os multiplicadores:
4 cdot 10.022 = 40.088
2 cdot 11.333 = 22.666
Somando tudo:
1 + 40.088 + 22.666 + 1 = 64.754
Agora, multiplicamos por Integral approx pi24 times 64.754 approx 8.482 :

Resposta

A integral aproximada pela Regra 1/3 de Simpson com 8 subintervalos é aproximadamente 8,482.

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