Obtenha uma regra de integração que seja exata até polinômio de grau , para a integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma regra de integração que seja exata para polinômios de grau até 2. Basicamente, queremos aproximar a integral definida de de 0 a 1 usando uma combinação linear dos valores de em pontos específicos: , e . Para isso, precisamos determinar os coeficientes , e que vão multiplicar esses valores de de forma que a aproximação seja exata para qualquer polinômio de grau até 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma regra de integração ser exata para polinômios de certo grau. Queremos que, se for um polinômio de grau 0 (constante), 1 (linear) ou 2 (quadrático), a aproximação fornecida pela regra seja igual ao valor exato da integral.
Então, vamos testar nossa regra para esses três casos.

Passo 3

Caso 1:
Se , temos:
E a regra de integração dá:
Para que seja exata, devemos ter:

Passo 4

Caso 2:
Se , a integral exata é:
A regra de integração dá:
Para ser exata:

Passo 5

Caso 3:
Se , a integral exata é:
A regra de integração dá:
Para ser exata:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 7

Primeiro, vamos simplificar as equações 2 e 3 multiplicando os termos para eliminar os denominadores.
Equação 2:
Multiplicando por 4:
Equação 3:
Multiplicando por 16:
Agora, nosso sistema fica:

Passo 8

Vamos resolver as equações 2 e 3 para encontrar e .
Primeiro, da equação 2:
Agora, substituímos na equação 3:
Simplificando:

Passo 9

Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:

Passo 10

Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar :

Resposta

Então, a regra de integração que é exata para polinômios de grau até 2 é:

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