Obtenha uma regra de integração que seja exata até polinômio de grau
, para a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma regra de integração que seja exata para polinômios de grau até 2. Basicamente, queremos aproximar a integral definida de
de 0 a 1 usando uma combinação linear dos valores de
em pontos específicos:
,
e
. Para isso, precisamos determinar os coeficientes
,
e
que vão multiplicar esses valores de
de forma que a aproximação seja exata para qualquer polinômio de grau até 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma regra de integração ser exata para polinômios de certo grau. Queremos que, se
for um polinômio de grau 0 (constante), 1 (linear) ou 2 (quadrático), a aproximação fornecida pela regra seja igual ao valor exato da integral.
Então, vamos testar nossa regra para esses três casos.
Passo 3
Caso 1:
Se
, temos:
E a regra de integração dá:
Para que seja exata, devemos ter:
Passo 4
Caso 2:
Se
, a integral exata é:
A regra de integração dá:
Para ser exata:
Passo 5
Caso 3:
Se
, a integral exata é:
A regra de integração dá:
Para ser exata:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
e
.
Passo 7
Primeiro, vamos simplificar as equações 2 e 3 multiplicando os termos para eliminar os denominadores.
Equação 2:
Multiplicando por 4:
Equação 3:
Multiplicando por 16:
Agora, nosso sistema fica:
Passo 8
Vamos resolver as equações 2 e 3 para encontrar
e
.
Primeiro, da equação 2:
Agora, substituímos
na equação 3:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a expressão que encontramos anteriormente:
Passo 10
Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar
:
Resposta
Então, a regra de integração que é exata para polinômios de grau até 2 é:
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com
.