(1,5) Obtenha uma regra de integração que seja exata até polinômio de grau <= 2, para a integral
integral0^1 f(x) d x approx A0 f(0)+A1 f(12)+A2 f(34)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma regra de integração que seja exata para polinômios de grau até 2. Basicamente, queremos aproximar a integral definida de de 0 a 1 usando uma combinação linear dos valores de em pontos específicos: , e . Para isso, precisamos determinar os coeficientes , e que vão multiplicar esses valores de de forma que a aproximação seja exata para qualquer polinômio de grau até 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma regra de integração ser exata para polinômios de certo grau. Queremos que, se for um polinômio de grau 0 (constante), 1 (linear) ou 2 (quadrático), a aproximação fornecida pela regra seja igual ao valor exato da integral.
Então, vamos testar nossa regra para esses três casos.

Passo 3

Caso 1: integral0^1 1 , dx = 1
Se A0 cdot 1 + A1 cdot 1 + A2 cdot 1 = A0 + A1 + A2 , temos:
A0 + A1 + A2 = 1
E a regra de integração dá:
Para que seja exata, devemos ter:

Passo 4

Caso 2: integral0^1 x , dx = 12
Se A0 cdot 0 + A1 cdot 12 + A2 cdot 34 = A12 + 3A24 , a integral exata é:
A12 + 3A24 = 12
A regra de integração dá:
Para ser exata:

Passo 5

Caso 3: integral0^1 x^2 , dx = 13
Se A0 cdot 0^2 + A1 cdot (12)^2 + A2 cdot (34)^2 = A1 cdot 14 + A2 cdot 916 , a integral exata é:
A14 + 9A216 = 13
A regra de integração dá:
Para ser exata:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 7

Primeiro, vamos simplificar as equações 2 e 3 multiplicando os termos para eliminar os denominadores.
Equação 2:
Multiplicando por 4:
2A1 + 3A2 = 2
Equação 3:
Multiplicando por 16:
4A1 + 9A2 = 163
Agora, nosso sistema fica:

Passo 8

Vamos resolver as equações 2 e 3 para encontrar 2A1 + 3A2 = 2 Rightarrow A1 = 2 - 3A22 e 4( 2 - 3A22 ) + 9A2 = 163 .
Primeiro, da equação 2:
2(2 - 3A2) + 9A2 = 163
Agora, substituímos 4 - 6A2 + 9A2 = 163 na equação 3:
4 + 3A2 = 163
Simplificando:
3A2 = 163 - 4 = 163 - 123 = 43
A2 = 49

Passo 9

Agora que temos A1 = 2 - 3A22 = 2 - 3( 49 )2 = 2 - 1292 = 189 - 1292 = 692 = 23 times 12 = 13 , vamos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:

Passo 10

Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar A0 + A1 + A2 = 1 Rightarrow A0 = 1 - A1 - A2 = 1 - 13 - 49 = 99 - 39 - 49 = 29 :

Resposta

Então, a regra de integração que é exata para polinômios de grau até 2 é:
integral0^1 f(x) , dx approx 29 f(0) + 13 f( 12 ) + 49 f( 34 )

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