(2,5) Seja o Problema de Valor Inicial (PVI)
y^prime & =2 x^2+y10+1 y(0) & =1
Utilize o Método de Runge-Kutta de segunda ordem (RK2) para estimar o valor de y(5) com h=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial:
y' &= 2x^2 + y10 + 1 y(0) &= 1
Queremos estimar o valor de usando o Método de Runge-Kutta de segunda ordem (RK2) com um tamanho de passo . Para resolver isso, vamos seguir o método RK2 passo a passo, calculando para .

Passo 2

O Método de Runge-Kutta de segunda ordem (RK2) é uma técnica para aproximar soluções de equações diferenciais. A fórmula geral para RK2 é:
yn+1 = yn + h2 ( k1 + k2 )
onde:
k1 = f(xn, yn)
k2 = f(xn + h, yn + h cdot k1)
No nosso caso, a função é .

Passo 3

Começamos com k1 = f(x0, y0) = 2(0)^2 + 110 + 1 = 0 + 0.1 + 1 = 1.1 e k2 = f(x0 + h, y0 + h cdot k1) = f(1, 1 + 1 cdot 1.1) = f(1, 2.1) . Vamos calcular k2 = 2(1)^2 + 2.110 + 1 = 2 + 0.21 + 1 = 3.21 para y1 = y0 + 12 (1.1 + 3.21) = 1 + 12 times 4.31 = 1 + 2.155 = 3.155 :
Calculando :
Agora, aplicamos a fórmula de RK2:

Passo 4

Agora, k1 = f(1, 3.155) = 2(1)^2 + 3.15510 + 1 = 2 + 0.3155 + 1 = 3.3155 e k2 = f(2, 3.155 + 1 cdot 3.3155) = f(2, 6.4705) . Vamos calcular k2 = 2(2)^2 + 6.470510 + 1 = 8 + 0.64705 + 1 = 9.64705 para y2 = 3.155 + 12 (3.3155 + 9.64705) = 3.155 + 12 times 12.96255 = 3.155 + 6.481275 = 9.636275 :
Calculando :
Aplicando RK2:

Passo 5

Agora, k1 = f(2, 9.636275) = 2(2)^2 + 9.63627510 + 1 = 8 + 0.9636275 + 1 = 9.9636275 e k2 = f(3, 9.636275 + 1 cdot 9.9636275) = f(3, 19.5999025) . Vamos calcular k2 = 2(3)^2 + 19.599902510 + 1 = 18 + 1.95999025 + 1 = 20.95999025 para y3 = 9.636275 + 12 (9.9636275 + 20.95999025) = 9.636275 + 12 times 30.92361775 = 9.636275 + 15.461808875 = 25.098083875 :
Calculando :
Aplicando RK2:

Passo 6

Agora, k1 = f(3, 25.098083875) = 2(3)^2 + 25.09808387510 + 1 = 18 + 2.5098083875 + 1 = 21.5098083875 e k2 = f(4, 25.098083875 + 1 cdot 21.5098083875) = f(4, 46.6078922625) . Vamos calcular k2 = 2(4)^2 + 46.607892262510 + 1 = 32 + 4.66078922625 + 1 = 37.66078922625 para y4 = 25.098083875 + 12 (21.5098083875 + 37.66078922625) = 25.098083875 + 12 times 59.17059761375 = 25.098083875 + 29.585298806875 = 54.683382681875 :
Calculando :
Aplicando RK2:

Passo 7

Finalmente, k1 = f(4, 54.683382681875) = 2(4)^2 + 54.68338268187510 + 1 = 32 + 5.4683382681875 + 1 = 38.4683382681875 e k2 = f(5, 54.683382681875 + 1 cdot 38.4683382681875) = f(5, 93.1517209490625) . Vamos calcular k2 = 2(5)^2 + 93.151720949062510 + 1 = 50 + 9.31517209490625 + 1 = 60.31517209490625 para y5 = 54.683382681875 + 12 (38.4683382681875 + 60.31517209490625) = 54.683382681875 + 12 times 98.78351036309375 = 54.683382681875 + 49.391755181546875 = 104.07513786342188 :
Calculando :
Aplicando RK2:

Resposta

Usando o Método de Runge-Kutta de segunda ordem com , a estimativa de é aproximadamente .

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