(2,5) Supondo que os dados podem ser ajustados por uma função phi(x)=alpha1 x^2+alpha2 cdot e^x, determine utilizando o Método dos Mínimos Quadrados o melhor ajuste.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função modelo phi(x) = alpha1 x^2 + alpha2 e^x que queremos ajustar aos nossos dados. O objetivo é encontrar os melhores valores para alpha1 e alpha2 usando o Método dos Mínimos Quadrados. Para isso, precisamos dos dados (pares de valores x e y) que queremos ajustar, mas como não foram fornecidos, vamos explicar o processo de forma geral.

Passo 2

O Método dos Mínimos Quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( yi) e os valores previstos pela função modelo ( phi(xi)). Matematicamente, queremos minimizar a função:
S = sumi=1^n ( yi - phi(xi) )^2
Substituindo phi(x) pela nossa função modelo:
S = sumi=1^n ( yi - alpha1 xi^2 - alpha2 e^xi )^2

Passo 3

Para encontrar os valores que minimizam S, vamos derivar S em relação a alpha1 e alpha2 e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações lineares conhecido como “equações normais”.
Derivando S em relação a alpha1:
partial Spartial alpha1 = -2 sumi=1^n xi^2 ( yi - alpha1 xi^2 - alpha2 e^xi ) = 0
Derivando S em relação a alpha2:
partial Spartial alpha2 = -2 sumi=1^n e^xi ( yi - alpha1 xi^2 - alpha2 e^xi ) = 0

Passo 4

Simplificando as equações, temos:
sumi=1^n xi^2 yi = alpha1 sumi=1^n xi^4 + alpha2 sumi=1^n xi^2 e^xi
sumi=1^n e^xi yi = alpha1 sumi=1^n xi^2 e^xi + alpha2 sumi=1^n e^2xi
Essas duas equações formam o sistema que precisamos resolver para encontrar alpha1 e alpha2.

Passo 5

Para resolver esse sistema, podemos representá-lo em forma matricial:
$$
sum xi^4 & sum xi^2 e^xi sum xi^2 e^xi & sum e^2xi alpha1 alpha2 = sum xi^2 yi sum e^xi yi

$$
Com os valores das somas calculados a partir dos dados, podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss ou a inversão de matrizes.

Resposta

Após resolver o sistema de equações normais, obtemos os valores ótimos de alpha1 e alpha2 que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os previstos pela função phi(x). Esses valores representam o melhor ajuste dos dados pela função modelo phi(x) = alpha1 x^2 + alpha2 e^x utilizando o Método dos Mínimos Quadrados.

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