Supondo que os dados podem ser ajustados por uma função
, determine utilizando o Método dos Mínimos Quadrados o melhor ajuste.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função modelo
que queremos ajustar aos nossos dados. O objetivo é encontrar os melhores valores para
e
usando o Método dos Mínimos Quadrados. Para isso, precisamos dos dados (pares de valores
e
) que queremos ajustar, mas como não foram fornecidos, vamos explicar o processo de forma geral.
Passo 2
O Método dos Mínimos Quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados (
) e os valores previstos pela função modelo (
). Matematicamente, queremos minimizar a função:
Substituindo
pela nossa função modelo:
Passo 3
Para encontrar os valores que minimizam
, vamos derivar
em relação a
e
e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações lineares conhecido como “equações normais”.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Simplificando as equações, temos:
Essas duas equações formam o sistema que precisamos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Para resolver esse sistema, podemos representá-lo em forma matricial:
$$
$$
Com os valores das somas calculados a partir dos dados, podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss ou a inversão de matrizes.
Com os valores das somas calculados a partir dos dados, podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss ou a inversão de matrizes.
Resposta
Após resolver o sistema de equações normais, obtemos os valores ótimos de
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os previstos pela função
. Esses valores representam o melhor ajuste dos dados pela função modelo
utilizando o Método dos Mínimos Quadrados.
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