Calcule a integral integral1^2,5 x ln (x) d x pela regra de 1 / 3 de Simpson utilizando 6 subintervalos. Utilizando a mesma integral, calcule utilizando a regra de 3 / 8 de Simpson utilizando 7 subintervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando as regras de Simpson. A matéria aqui é de Cálculo Integral, mais especificamente métodos numéricos para integração. Vamos precisar aplicar a regra de Simpson com 6 subintervalos e a regra de Simpson com 7 subintervalos. Essas regras ajudam a aproximar o valor da integral quando não conseguimos calcular de forma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a regra de Simpson com 6 subintervalos. A regra de Simpson é ótima para integrar funções suaves e requer um número par de subintervalos. Aqui, temos 6 subintervalos, então está certinho.

Passo 3

Calculamos o tamanho do passo ( h = 2,5 - 16 = 1,56 = 0,25 ) dividindo o intervalo em 6 partes. A largura de cada subintervalo é:

Passo 4

Identificamos os pontos x0 &= 1,00 x1 &= 1,25 x2 &= 1,50 x3 &= 1,75 x4 &= 2,00 x5 &= 2,25 x6 &= 2,50 onde a :

Passo 5

Calculamos os valores da função f(x0) &= 1 cdot ln(1) = 0 f(x1) &= 1,25 cdot ln(1,25) approx 1,25 cdot 0,2231 approx 0,2789 f(x2) &= 1,50 cdot ln(1,50) approx 1,50 cdot 0,4055 approx 0,6083 f(x3) &= 1,75 cdot ln(1,75) approx 1,75 cdot 0,5596 approx 0,9793 f(x4) &= 2,00 cdot ln(2,00) approx 2,00 cdot 0,6931 approx 1,3862 f(x5) &= 2,25 cdot ln(2,25) approx 2,25 cdot 0,8109 approx 1,8245 f(x6) &= 2,50 cdot ln(2,50) approx 2,50 cdot 0,9163 approx 2,2908 nesses pontos:

Passo 6

Aplicamos a fórmula da regra de Simpson integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) + f(x6) ] :
Integral &approx 0,253 [ 0 + 4(0,2789) + 2(0,6083) + 4(0,9793) + 2(1,3862) + 4(1,8245) + 2,2908 ] &= 0,253 [ 0 + 1,1156 + 1,2166 + 3,9172 + 2,7724 + 7,2980 + 2,2908 ] &= 0,253 times 15,6096 &= 0,0833 times 15,6096 &approx 1,3008
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos usar a regra de Simpson com 7 subintervalos. A regra é semelhante à , mas usa polinômios de grau 3. Para essa regra, geralmente usamos múltiplos de 3 para o número de subintervalos, mas aqui usamos 7 subintervalos conforme o enunciado.

Passo 8

Calculamos o tamanho do passo ( h = 2,5 - 17 = 1,57 approx 0,2143 ):

Passo 9

Identificamos os pontos x0 &= 1,00 x1 &= 1,2143 x2 &= 1,4286 x3 &= 1,6429 x4 &= 1,8571 x5 &= 2,0714 x6 &= 2,2857 x7 &= 2,5000 onde a :

Passo 10

Calculamos os valores da função f(x0) &= 1 cdot ln(1) = 0 f(x1) &= 1,2143 cdot ln(1,2143) approx 1,2143 cdot 0,1940 approx 0,2350 f(x2) &= 1,4286 cdot ln(1,4286) approx 1,4286 cdot 0,3567 approx 0,5096 f(x3) &= 1,6429 cdot ln(1,6429) approx 1,6429 cdot 0,4961 approx 0,8155 f(x4) &= 1,8571 cdot ln(1,8571) approx 1,8571 cdot 0,6190 approx 1,1493 f(x5) &= 2,0714 cdot ln(2,0714) approx 2,0714 cdot 0,7285 approx 1,5065 f(x6) &= 2,2857 cdot ln(2,2857) approx 2,2857 cdot 0,8265 approx 1,8915 f(x7) &= 2,5000 cdot ln(2,5) approx 2,5000 cdot 0,9163 approx 2,2908 nesses pontos:

Passo 11

Aplicamos a fórmula da regra de Simpson integrala^b f(x) , dx approx 3h8 [ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + 3f(x4) + 3f(x5) + 2f(x6) + f(x7) ] :
Integral &approx 3 times 0,21438 [ 0 + 3(0,2350) + 3(0,5096) + 2(0,8155) + 3(1,1493) + 3(1,5065) + 2(1,8915) + 2,2908 ] &= 0,64298 [ 0 + 0,7050 + 1,5288 + 1,6310 + 3,4479 + 4,5195 + 3,7830 + 2,2908 ] &= 0,0804 times 13,284 &approx 1,0683
Substituindo os valores:

Resposta

Usando a regra de Simpson com 6 subintervalos, a integral é aproximadamente . Usando a regra de Simpson com 7 subintervalos, a integral é aproximadamente .

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