A concentração, c, de uma bactéria poluente em um lago é descrita por
Utilizar o Método da Bisseção, com precisão
no intervalo
para estimaro tempo x, em segundos, para que esta concentração seja reduzida para 9 . Não se esqueça de verificar se o intervalo contém raízes e se ela é única.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a concentração de uma bactéria poluente no lago é dada por uma função exponencial:
A missão é descobrir em quanto tempo, medido em segundos (x), essa concentração vai cair para 9 unidades. Para isso, vamos usar o Método da Bisseção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Vamos trabalhar no intervalo entre 1,5 e 1,8 segundos, com uma precisão de 0,03 segundos. Primeiro, vamos checar se há uma única raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação para encontrar a raiz:
Vamos chamar essa função de
:
Agora, precisamos verificar se
muda de sinal no intervalo [1,5 ; 1,8]. Isso é importante porque, se mudar, garante que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular
:
Calculando cada parte:
Somando:
Então,
Agora, vamos calcular
:
Calculando cada parte:
Somando:
Então,
Como
é positivo e
é negativo, sabemos que há pelo menos uma raiz no intervalo [1,5 ; 1,8], e como a função é contínua e decrescente, essa raiz é única.
Passo 4
Agora vamos aplicar o Método da Bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual metade a raiz está, repetindo o processo até atingir a precisão desejada.
Primeiro, calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Calculando cada parte:
Somando:
Então,
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo [1,5 ; 1,65].
Passo 5
Vamos recalcular o ponto médio do novo intervalo [1,5 ; 1,65]:
Calculamos
:
Calculando cada parte:
Somando:
Então,
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo [1,5 ; 1,575].
Passo 6
Vamos recalcular o ponto médio do intervalo [1,5 ; 1,575]:
Calculamos
:
Calculando cada parte:
Somando:
Então,
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo [1,5 ; 1,5375].
Passo 7
Vamos recalcular o ponto médio do intervalo [1,5 ; 1,5375]:
Calculamos
:
Calculando cada parte:
Somando:
Então,
Agora, como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo [1,51875 ; 1,5375].
Resposta
Após aplicar o Método da Bisseção com precisão de 0,03, o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida para 9 unidades é aproximadamente 1,52 segundos.