A concentração, c, de uma bactéria poluente em um lago é descrita por
c=70 e^-1,5 x+2,5 e^-0,075 x
Utilizar o Método da Bisseção, com precisão de no intervalo [1,5 ; 1,8] para estimaro tempo x, em segundos, para que esta concentração seja reduzida para 9 . Não se esqueça de verificar se o intervalo contém raízes e se ela é única.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a concentração de uma bactéria poluente no lago é dada por uma função exponencial:
c = 70 e^-1,5 x + 2,5 e^-0,075 x
A missão é descobrir em quanto tempo, medido em segundos (x), essa concentração vai cair para 9 unidades. Para isso, vamos usar o Método da Bisseção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Vamos trabalhar no intervalo entre 1,5 e 1,8 segundos, com uma precisão de 0,03 segundos. Primeiro, vamos checar se há uma única raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação para encontrar a raiz:
70 e^-1,5 x + 2,5 e^-0,075 x - 9 = 0
Vamos chamar essa função de f(x) = 70 e^-1,5 x + 2,5 e^-0,075 x - 9 :
Agora, precisamos verificar se muda de sinal no intervalo [1,5 ; 1,8]. Isso é importante porque, se mudar, garante que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular f(1,5) = 70 e^-1,5 times 1,5 + 2,5 e^-0,075 times 1,5 - 9 :
70 e^-2,25 approx 70 times 0,1054 approx 7,378
Calculando cada parte:
2,5 e^-0,1125 approx 2,5 times 0,8939 approx 2,2347
7,378 + 2,2347 - 9 approx 0,6127
Somando:
f(1,8) = 70 e^-1,5 times 1,8 + 2,5 e^-0,075 times 1,8 - 9
Então, 70 e^-2,7 approx 70 times 0,0672 approx 4,704
Agora, vamos calcular 2,5 e^-0,135 approx 2,5 times 0,8734 approx 2,1835 :
4,704 + 2,1835 - 9 approx -2,1125
Calculando cada parte:
Somando:
Então,
Como é positivo e é negativo, sabemos que há pelo menos uma raiz no intervalo [1,5 ; 1,8], e como a função é contínua e decrescente, essa raiz é única.

Passo 4

Agora vamos aplicar o Método da Bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual metade a raiz está, repetindo o processo até atingir a precisão desejada.
Primeiro, calculamos o ponto médio:
m = 1,5 + 1,82 = 1,65
Calculamos f(1,65) = 70 e^-1,5 times 1,65 + 2,5 e^-0,075 times 1,65 - 9 :
70 e^-2,475 approx 70 times 0,0845 approx 5,915
Calculando cada parte:
2,5 e^-0,12375 approx 2,5 times 0,8833 approx 2,208
5,915 + 2,208 - 9 approx -0,877
Somando:
Então,
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo [1,5 ; 1,65].

Passo 5

Vamos recalcular o ponto médio do novo intervalo [1,5 ; 1,65]:
m = 1,5 + 1,652 = 1,575
Calculamos f(1,575) = 70 e^-1,5 times 1,575 + 2,5 e^-0,075 times 1,575 - 9 :
70 e^-2,3625 approx 70 times 0,0944 approx 6,61
Calculando cada parte:
2,5 e^-0,118125 approx 2,5 times 0,8882 approx 2,2205
6,61 + 2,2205 - 9 approx -0,1695
Somando:
Então,
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo [1,5 ; 1,575].

Passo 6

Vamos recalcular o ponto médio do intervalo [1,5 ; 1,575]:
m = 1,5 + 1,5752 = 1,5375
Calculamos f(1,5375) = 70 e^-1,5 times 1,5375 + 2,5 e^-0,075 times 1,5375 - 9 :
70 e^-2,30625 approx 70 times 0,0999 approx 6,993
Calculando cada parte:
2,5 e^-0,1153125 approx 2,5 times 0,8917 approx 2,229
6,993 + 2,229 - 9 approx -0,778
Somando:
Então,
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo [1,5 ; 1,5375].

Passo 7

Vamos recalcular o ponto médio do intervalo [1,5 ; 1,5375]:
m = 1,5 + 1,53752 = 1,51875
Calculamos f(1,51875) = 70 e^-1,5 times 1,51875 + 2,5 e^-0,075 times 1,51875 - 9 :
70 e^-2,278125 approx 70 times 0,1023 approx 7,161
Calculando cada parte:
2,5 e^-0,11390625 approx 2,5 times 0,8925 approx 2,231
7,161 + 2,231 - 9 approx 0,392
Somando:
Então,
Agora, como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo [1,51875 ; 1,5375].

Resposta

Após aplicar o Método da Bisseção com precisão de 0,03, o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida para 9 unidades é aproximadamente 1,52 segundos.

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