Considere a seguinte tabela de valores da função f:
X 0 1 2 4 6
F(x) 1 9 23 93 259
Construa a tabela das diferenças divididas da função f baseada nos valores tabelados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma tabela com alguns valores da função e queremos construir a tabela das diferenças divididas. Esse conteúdo faz parte da matéria de Interpolação Polinomial, que nos ajuda a encontrar um polinômio que passa por todos esses pontos. Para isso, vamos precisar entender como calcular as diferenças divididas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. A tabela inicial é:
|c|c|c|c|c|c| hline X & 0 & 1 & 2 & 4 & 6 hline F(X) & 1 & 9 & 23 & 93 & 259 hline

Passo 3

Agora, vamos começar a calcular as diferenças divididas. A ideia é calcular a diferença entre os valores de f[xi, xi+1] = F(xi+1) - F(xi)xi+1 - xi dividida pela diferença nos respectivos f[0,1] = 9 - 11 - 0 = 81 = 8 . Vamos organizar isso em colunas adicionais.
Diferenças de primeira ordem ( f[1,2] = 23 - 92 - 1 = 141 = 14 ):
Para cada par de pontos consecutivos, calculamos:
f[2,4] = 93 - 234 - 2 = 702 = 35
Vamos calcular:
  • Entre f[4,6] = 259 - 936 - 4 = 1662 = 83 e :
  • Entre e :
  • Entre e :
  • Entre e :

Passo 4

Agora, vamos para as diferenças de segunda ordem ( f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi ). Aqui, usamos as diferenças de primeira ordem que acabamos de calcular:
f[0,1,2] = 14 - 82 - 0 = 62 = 3
Vamos calcular:
  • Entre f[1,2,4] = 35 - 144 - 1 = 213 = 7 :
f[2,4,6] = 83 - 356 - 2 = 484 = 12
  • Entre :
  • Entre :

Passo 5

Continuando, vamos para as diferenças de terceira ordem ( f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] = f[xi+1, xi+2, xi+3] - f[xi, xi+1, xi+2]xi+3 - xi ):
f[0,1,2,4] = 7 - 34 - 0 = 44 = 1
Vamos calcular:
  • Entre f[1,2,4,6] = 12 - 76 - 1 = 55 = 1 :
  • Entre :

Passo 6

Finalmente, calculamos a diferença de quarta ordem ( f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4] = f[xi+1, xi+2, xi+3, xi+4] - f[xi, xi+1, xi+2, xi+3]xi+4 - xi ):
f[0,1,2,4,6] = 1 - 16 - 0 = 06 = 0
Vamos calcular:
  • Entre :

Resposta

A tabela das diferenças divididas da função |c|c|c|c|c|c| hline X & F(X) & f[xi, xi+1] & f[xi, xi+1, xi+2] & f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] & f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4] hline 0 & 1 & 8 & 3 & 1 & 0 1 & 9 & 14 & 7 & 1 & 2 & 23 & 35 & 12 & & 4 & 93 & 83 & & & 6 & 259 & & & & hline é:
Essa tabela mostra todas as diferenças divididas calculadas com base nos valores fornecidos da função .

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