Considere a seguinte tabela de valores da função f:
X 0 1 2 4 6
F(x) 1 9 23 93 259
Usando todos os valores tabelados e a fórmula de interpolação polinomial de Newton, determine uma estimativa para f(2.7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente estimar o valor de usando a Interpolação Polinomial de Newton. Isso faz parte da matemática que trata de encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. Para resolver, a gente vai precisar usar os valores da tabela fornecida e aplicar a fórmula de Newton para interpolação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. A tabela nos dá os valores de |c|c|c|c|c|c| hline X & 0 & 1 & 2 & 4 & 6 hline F(X) & 1 & 9 & 23 & 93 & 259 hline e :
Vamos usar esses pontos para construir o polinômio de Newton.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as diferenças divididas, que são essenciais para formar o polinômio. Começamos organizando uma tabela de diferenças divididas:
|c|c|c|c|c|c| hline X & F(X) & f[x0,x1] & f[x0,x1,x2] & f[x0,x1,x2,x3] & f[x0,x1,x2,x3,x4] hline 0 & 1 & & & & 1 & 9 & 9-11-0=8 & & & 2 & 23 & 23-92-1=14 & 14-82-0=3 & & 4 & 93 & 93-234-2=35 & 35-144-1=7 & 7-34-0=1.3333 & 6 & 259 & 259-936-4=83 & 83-356-2=12 & 12-76-1=1 & 1-1.33336-0=-0.0667 hline
Cada coluna à direita representa uma ordem superior de diferenças divididas.

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + dots
Usando os valores que calculamos:
P(x) = 1 + 8(x - 0) + 3(x - 0)(x - 1) + 1.3333(x - 0)(x - 1)(x - 2) + (-0.0667)(x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 4)

Passo 5

Agora, vamos substituir P(2.7) &= 1 + 8(2.7) + 3(2.7)(2.7 - 1) + 1.3333(2.7)(2.7 - 1)(2.7 - 2) & + (-0.0667)(2.7)(2.7 - 1)(2.7 - 2)(2.7 - 4) &= 1 + 21.6 + 3 times 2.7 times 1.7 + 1.3333 times 2.7 times 1.7 times 0.7 & + (-0.0667) times 2.7 times 1.7 times 0.7 times (-1.3) &= 1 + 21.6 + 13.77 + 3.9999 + 0.2067 &approx 1 + 21.6 + 13.77 + 3.9999 + 0.2067 &approx 40.5766 no polinômio para encontrar :

Resposta

Portanto, a estimativa para é aproximadamente 40.58.

Exercícios relacionados