Calcule a integral integral2^5 1x cdot ln (x) d x, utilizando m=6 e cada uma das regras abaixo:
(a) Regra dos trapézios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra dos Trapézios com . Essa é uma técnica de cálculo numérico que aproxima o valor de uma integral dividindo a área sob a curva em trapézios. Para isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o tamanho de cada subintervalo. A Regra dos Trapézios divide o intervalo de integração h = b - am = 5 - 26 = 36 = 0,5 em partes iguais. Aqui, , e .
O tamanho de cada subintervalo ( ) é calculado pela fórmula:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos x0 = 2 onde vamos avaliar a função. Começamos em x1 = 2 + 0,5 = 2,5 e vamos incrementando x2 = 2,5 + 0,5 = 3 até chegar em x3 = 3 + 0,5 = 3,5 .
x4 = 3,5 + 0,5 = 4
x5 = 4 + 0,5 = 4,5
x6 = 4,5 + 0,5 = 5

Passo 4

Em seguida, avaliamos a função f(x0) = 12 cdot ln(2) approx 12 cdot 0,6931 approx 0,7213 em cada um desses pontos:
f(x1) = 12,5 cdot ln(2,5) approx 12,5 cdot 0,9163 approx 0,4351
f(x2) = 13 cdot ln(3) approx 13 cdot 1,0986 approx 0,3039
f(x3) = 13,5 cdot ln(3,5) approx 13,5 cdot 1,2528 approx 0,2279
f(x4) = 14 cdot ln(4) approx 14 cdot 1,3863 approx 0,1807
f(x5) = 14,5 cdot ln(4,5) approx 14,5 cdot 1,5041 approx 0,1480
f(x6) = 15 cdot ln(5) approx 15 cdot 1,6094 approx 0,1242

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra dos Trapézios, que é dada pela fórmula:
integrala^b f(x) dx approx h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^m-1 f(xi) + f(xm) ]
Substituindo os valores que calculamos:
Integral approx 0,52 [ 0,7213 + 2(0,4351 + 0,3039 + 0,2279 + 0,1807 + 0,1480) + 0,1242 ]

Passo 6

Vamos calcular o que está dentro dos colchetes primeiro:
2(0,4351 + 0,3039 + 0,2279 + 0,1807 + 0,1480) = 2(1,2956) = 2,5912
Então:
0,7213 + 2,5912 + 0,1242 = 3,4367
Multiplicando pelo Integral approx 0,25 times 3,4367 approx 0,8592 :

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra dos Trapézios com é aproximadamente 0,8592.

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