Calcule a integral integral2^5 1x cdot ln (x) d x, utilizando m=6 e cada uma das regras abaixo:
© Segunda regra de Simpson.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . A matéria que estamos usando aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente as Regras de Simpson para aproximação de integrais. A gente vai precisar dividir o intervalo de integração em 6 partes iguais e aplicar a segunda regra de Simpson para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre a Segunda Regra de Simpson. Essa regra é uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas. Ela funciona dividindo o intervalo de integração em um número par de subintervalos (no nosso caso, m=6) e usando uma combinação ponderada dos valores da função nos pontos finais e intermediários. A fórmula geral é:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumi=1,3,5,dots^m-1 f(xi) + 2 sumi=2,4,6,dots^m-2 f(xi) + f(xm) ]
onde e .

Passo 3

Vamos dividir o intervalo de 2 a 5 em 6 subintervalos iguais. Primeiro, calculamos o tamanho de cada subintervalo:
h = 5 - 26 = 36 = 0,5
Então, os pontos de divisão são:
x0 = 2, x1 = 2 + 0,5 = 2,5, x2 = 3, x3 = 3,5, x4 = 4, x5 = 4,5, x6 = 5

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função f(x0) &= f(2) = 12 cdot ln(2) approx 0,7213 f(x1) &= f(2,5) = 12,5 cdot ln(2,5) approx 0,5691 f(x2) &= f(3) = 13 cdot ln(3) approx 0,4551 f(x3) &= f(3,5) = 13,5 cdot ln(3,5) approx 0,3767 f(x4) &= f(4) = 14 cdot ln(4) approx 0,3607 f(x5) &= f(4,5) = 14,5 cdot ln(4,5) approx 0,3610 f(x6) &= f(5) = 15 cdot ln(5) approx 0,3522 em cada um desses pontos:

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula da Segunda Regra de Simpson com os valores que calculamos:
integral2^5 1x cdot ln (x) , dx &approx 0,53 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ] &= 0,53 [ 0,7213 + 4(0,5691 + 0,3767 + 0,3610) + 2(0,4551 + 0,3607) + 0,3522 ] &= 0,53 [ 0,7213 + 4(1,3068) + 2(0,8158) + 0,3522 ] &= 0,53 [ 0,7213 + 5,2272 + 1,6316 + 0,3522 ] &= 0,53 times 7,9323 &= 0,5 times 7,93233 &= 3,966153 &= 1,32205

Resposta

A aproximação da integral utilizando a segunda regra de Simpson com é aproximadamente 1,322.

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