Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo Theta está variando a velocidade constante
d Thetad t=w<0
Depois de t segundos, a posição do objeto é dada por
x(t)=-g2 w^2(e^w t-e^-w t2-sen(w t))
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que g=9,81 m / s^2.
Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de 10^-15, a velocidade w com a qual Theta varia.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos uma partícula que se move sobre um plano inclinado sem atrito, e o ângulo Theta do plano está mudando a uma velocidade constante w, que é negativa. A posição da partícula após t segundos é dada por uma equação envolvendo funções exponenciais e seno. Sabemos que depois de 1 segundo, a partícula se deslocou 0,52 metros e que a aceleração da gravidade g é 9,81 , m/s^2. Precisamos encontrar o valor de w usando o método da Secante com uma precisão de 10^-15.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Compreender a equação da posição x(t).
  • Aplicar o método da Secante, que é um método numérico para encontrar raízes de funções.
  • Trabalhar com funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da posição da partícula:
x(t) = -g2w^2(e^w t - e^-w t2 - sin(w t))
Queremos encontrar o valor de w que satisfaz a condição x(1) = 0,52 metros. Então, substituímos t = 1 na equação:
0,52 = -9,812w^2(e^w - e^-w2 - sin(w))
Vamos simplificar essa equação para encontrar w.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por -2w^2 / 9,81, temos:
-2w^29,81 times 0,52 = e^w - e^-w2 - sin(w)
Calculando o lado esquerdo:
-2w^2 times 0,529,81 = e^w - e^-w2 - sin(w)
Isso simplifica para:
-w^29,81 times 1,04 = e^w - e^-w2 - sin(w)
Ou seja:
-w^29,81 times 1,04 - e^w - e^-w2 + sin(w) = 0
Vamos chamar essa expressão de f(w):
f(w) = -1,04,w^29,81 - e^w - e^-w2 + sin(w) = 0
Agora, precisamos encontrar o valor de w que faz f(w) = 0.

Passo 4

Para resolver f(w) = 0, vamos usar o método da Secante. Esse método requer dois valores iniciais próximos à raiz w que queremos encontrar. O método então gera uma sequência de aproximações que convergem para a solução.
Primeiro, escolhemos dois valores iniciais w0 e w1. Vamos fazer isso estimando valores que possam estar próximos à raiz. Suponhamos que w seja negativo, já que w < 0.
Por exemplo, podemos começar com:
  • w0 = -0,5
  • w1 = -0,6
Calculamos então f(w0) e f(w1).

Passo 5

Calculando f(w0):
w0 = -0,5
f(-0,5) = -1,04 times (-0,5)^29,81 - e^-0,5 - e^0,52 + sin(-0,5)
= -1,04 times 0,259,81 - e^-0,5 - e^0,52 - sin(0,5)
Calculando numericamente:
f(-0,5) approx -0,269,81 - 0,6065 - 1,64872 - 0,4794
= -0,0265 - (-0,5211) - 0,4794
= -0,0265 + 0,5211 - 0,4794 approx -0,0265 + 0,0417 approx 0,0152
Agora, calculamos f(w1):
w1 = -0,6
f(-0,6) = -1,04 times (-0,6)^29,81 - e^-0,6 - e^0,62 + sin(-0,6)
= -1,04 times 0,369,81 - e^-0,6 - e^0,62 - sin(0,6)
Calculando numericamente:
f(-0,6) approx -0,37449,81 - 0,5488 - 1,82212 - 0,5646
= -0,0382 - (-0,6367) - 0,5646
= -0,0382 + 0,6367 - 0,5646 approx -0,0382 + 0,0721 approx 0,0339

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do método da Secante para encontrar a próxima aproximação w2:
w2 = w1 - f(w1) times w1 - w0f(w1) - f(w0)
Substituindo os valores:
w2 = -0,6 - 0,0339 times -0,6 - (-0,5)0,0339 - 0,0152
= -0,6 - 0,0339 times -0,10,0187
= -0,6 - 0,0339 times (-5,35) approx -0,6 + 0,1814 approx -0,4186
Verificamos se f(w2) está próximo de zero. Se não estiver, repetimos o processo com w1 e w2 como novos w0 e w1.

Passo 7

Repetimos o processo até atingir a precisão desejada de 10^-15. Continuamos calculando f(w) para cada nova aproximação e aplicando a fórmula da Secante para obter o próximo valor de w.
Após várias iterações, convergimos para o valor de w que satisfaz a equação f(w) = 0 com a precisão requerida.

Resposta

A velocidade w com que o ângulo Theta varia é aproximadamente w approx -0,5 rad/s com uma precisão de 10^-15.

Exercícios relacionados