Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo
está variando a velocidade constante
Depois de
segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que
.
Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de
, a velocidade
a qual
varia.
Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos uma partícula que se move sobre um plano inclinado sem atrito, e o ângulo
do plano está mudando a uma velocidade constante
, que é negativa. A posição da partícula após
segundos é dada por uma equação envolvendo funções exponenciais e seno. Sabemos que depois de 1 segundo, a partícula se deslocou 0,52 metros e que a aceleração da gravidade
é
. Precisamos encontrar o valor de
usando o método da Secante com uma precisão de
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Compreender a equação da posição
. - Aplicar o método da Secante, que é um método numérico para encontrar raízes de funções.
- Trabalhar com funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da posição da partícula:
Queremos encontrar o valor de
que satisfaz a condição
metros. Então, substituímos
na equação:
Vamos simplificar essa equação para encontrar
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Calculando o lado esquerdo:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Vamos chamar essa expressão de
:
Agora, precisamos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 4
Para resolver
, vamos usar o método da Secante. Esse método requer dois valores iniciais próximos à raiz
que queremos encontrar. O método então gera uma sequência de aproximações que convergem para a solução.
Primeiro, escolhemos dois valores iniciais
e
. Vamos fazer isso estimando valores que possam estar próximos à raiz. Suponhamos que
seja negativo, já que
.
Por exemplo, podemos começar com:
Calculamos então
e
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando numericamente:
Agora, calculamos
:
Calculando numericamente:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do método da Secante para encontrar a próxima aproximação
:
Substituindo os valores:
Verificamos se
está próximo de zero. Se não estiver, repetimos o processo com
e
como novos
e
.
Passo 7
Repetimos o processo até atingir a precisão desejada de
. Continuamos calculando
para cada nova aproximação e aplicando a fórmula da Secante para obter o próximo valor de
.
Após várias iterações, convergimos para o valor de
que satisfaz a equação
com a precisão requerida.
Resposta
A velocidade
com que o ângulo
varia é aproximadamente
rad/s com uma precisão de
.
Exercícios relacionados
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos como intervalo inicial?
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos
Considere a equação
para responder os itens a seguir:
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão . Em seguida repita com o método da falsa posição.
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão
Calcule a integral
, utilizando
e cada uma das regras abaixo:
(a) Regra dos trapézios.
(a) Regra dos trapézios.
Calcule a integral
, utilizando
e cada uma das regras abaixo:
© Segunda regra de Simpson.
© Segunda regra de Simpson.