Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo está variando a velocidade constante
Depois de segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que .
Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de , a velocidade a qual varia.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos uma partícula que se move sobre um plano inclinado sem atrito, e o ângulo do plano está mudando a uma velocidade constante , que é negativa. A posição da partícula após segundos é dada por uma equação envolvendo funções exponenciais e seno. Sabemos que depois de 1 segundo, a partícula se deslocou 0,52 metros e que a aceleração da gravidade é . Precisamos encontrar o valor de usando o método da Secante com uma precisão de .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Compreender a equação da posição .
  • Aplicar o método da Secante, que é um método numérico para encontrar raízes de funções.
  • Trabalhar com funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da posição da partícula:
Queremos encontrar o valor de que satisfaz a condição metros. Então, substituímos na equação:
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Calculando o lado esquerdo:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Vamos chamar essa expressão de :
Agora, precisamos encontrar o valor de que faz .

Passo 4

Para resolver , vamos usar o método da Secante. Esse método requer dois valores iniciais próximos à raiz que queremos encontrar. O método então gera uma sequência de aproximações que convergem para a solução.
Primeiro, escolhemos dois valores iniciais e . Vamos fazer isso estimando valores que possam estar próximos à raiz. Suponhamos que seja negativo, já que .
Por exemplo, podemos começar com:
Calculamos então e .

Passo 5

Calculando :
Calculando numericamente:
Agora, calculamos :
Calculando numericamente:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do método da Secante para encontrar a próxima aproximação :
Substituindo os valores:
Verificamos se está próximo de zero. Se não estiver, repetimos o processo com e como novos e .

Passo 7

Repetimos o processo até atingir a precisão desejada de . Continuamos calculando para cada nova aproximação e aplicando a fórmula da Secante para obter o próximo valor de .
Após várias iterações, convergimos para o valor de que satisfaz a equação com a precisão requerida.

Resposta

A velocidade com que o ângulo varia é aproximadamente rad/s com uma precisão de .

Exercícios relacionados

Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos como intervalo inicial?
Considere a equação para responder os itens a seguir:
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão . Em seguida repita com o método da falsa posição.
Calcule a integral , utilizando e cada uma das regras abaixo:
(a) Regra dos trapézios.
Calcule a integral , utilizando e cada uma das regras abaixo:
© Segunda regra de Simpson.