Deseja-se resolver a equação:
e^x-3 x^2=0
que possui as duas raízes r1=-0,4589623 e r2=0,91, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos [-1,0] como intervalo inicial?

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação . A questão quer saber se o método da bisseção vai encontrar uma das raízes da equação se a gente começar com o intervalo . Vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções, e pra isso a gente vai precisar entender como essa função se comporta nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. Esse método precisa que a função mude de sinal no intervalo escolhido, ou seja, que em um extremo da área a função seja positiva e no outro extremo seja negativa. Isso é importante por causa do Teorema do Valor Intermediário, que garante que, se a função é contínua e muda de sinal, ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função f(-1) = e^-1 - 3(-1)^2 = 1e - 3 approx 0,3679 - 3 = -2,6321 nos extremos do intervalo f(0) = e^0 - 3(0)^2 = 1 - 0 = 1 .
  • Quando :
    Então, .
  • Quando :
    Então, .

Passo 4

Vemos que em , é negativo ( ) e em , é positivo ( ). Como a função mudou de sinal nesse intervalo e sabemos que ela é contínua (porque e são funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Sabendo que existe uma raiz entre e , o método da bisseção vai continuar dividindo esse intervalo ao meio e verificando em qual subintervalo a mudança de sinal ocorre, aproximando-se cada vez mais da raiz. Dado que sabemos que a raiz está dentro desse intervalo, o método da bisseção vai, de fato, convergir para essa raiz.

Resposta

Sim, o método da bisseção irá convergir para a raiz quando usado o intervalo inicial .

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