Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos
como intervalo inicial?
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a equação
. A questão quer saber se o método da bisseção vai encontrar uma das raízes da equação se a gente começar com o intervalo
. Vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções, e pra isso a gente vai precisar entender como essa função se comporta nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. Esse método precisa que a função mude de sinal no intervalo escolhido, ou seja, que em um extremo da área a função seja positiva e no outro extremo seja negativa. Isso é importante por causa do Teorema do Valor Intermediário, que garante que, se a função é contínua e muda de sinal, ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
nos extremos do intervalo
.
-
Quando
: Então,. -
Quando
: Então,.
Passo 4
Vemos que em
,
é negativo (
) e em
,
é positivo (
). Como a função mudou de sinal nesse intervalo e sabemos que ela é contínua (porque
e
são funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Sabendo que existe uma raiz entre
e
, o método da bisseção vai continuar dividindo esse intervalo ao meio e verificando em qual subintervalo a mudança de sinal ocorre, aproximando-se cada vez mais da raiz. Dado que sabemos que a raiz
está dentro desse intervalo, o método da bisseção vai, de fato, convergir para essa raiz.
Resposta
Sim, o método da bisseção irá convergir para a raiz
quando usado o intervalo inicial
.