Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos como intervalo inicial?

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação . A questão quer saber se o método da bisseção vai encontrar uma das raízes da equação se a gente começar com o intervalo . Vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções, e pra isso a gente vai precisar entender como essa função se comporta nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. Esse método precisa que a função mude de sinal no intervalo escolhido, ou seja, que em um extremo da área a função seja positiva e no outro extremo seja negativa. Isso é importante por causa do Teorema do Valor Intermediário, que garante que, se a função é contínua e muda de sinal, ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função nos extremos do intervalo .
  • Quando :
    Então, .
  • Quando :
    Então, .

Passo 4

Vemos que em , é negativo ( ) e em , é positivo ( ). Como a função mudou de sinal nesse intervalo e sabemos que ela é contínua (porque e são funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Sabendo que existe uma raiz entre e , o método da bisseção vai continuar dividindo esse intervalo ao meio e verificando em qual subintervalo a mudança de sinal ocorre, aproximando-se cada vez mais da raiz. Dado que sabemos que a raiz está dentro desse intervalo, o método da bisseção vai, de fato, convergir para essa raiz.

Resposta

Sim, o método da bisseção irá convergir para a raiz quando usado o intervalo inicial .

Exercícios relacionados

Considere a equação para responder os itens a seguir:
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão . Em seguida repita com o método da falsa posição.
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão .
Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo está variando a velocidade constante
Depois de segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que .
Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de , a velocidade a qual varia.
Calcule a integral , utilizando e cada uma das regras abaixo:
(a) Regra dos trapézios.