Calcule a integral integral2^4 sin (x)x d x. Utilize 6 casas decimais e 4 subintervalos utilizando a regra de trapézio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando a regra do trapézio com 4 subintervalos. A regra do trapézio é uma técnica de aproximação para calcular integrais quando não conseguimos resolver de forma exata. Para isso, vamos dividir o intervalo em 4 partes iguais e calcular a área de cada trapézio formado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração e o número de subintervalos:
  • Limite inferior ( ): 2
  • Limite superior ( ): 4
  • Número de subintervalos ( ): 4

Passo 3

Agora, calculamos o tamanho de cada subintervalo ( h = b - an = 4 - 24 = 24 = 0,5 ) usando a fórmula:
Então, cada subintervalo tem largura de 0,5 unidades.

Passo 4

Em seguida, determinamos os pontos de divisão ( x0 = a = 2 ):
x1 = x0 + h = 2 + 0,5 = 2,5
x2 = x1 + h = 2,5 + 0,5 = 3,0
x3 = x2 + h = 3,0 + 0,5 = 3,5
x4 = b = 4,0

Passo 5

Agora, avaliamos a função f(x0) = sin(2)2 approx 0,9092972 = 0,454649 em cada um desses pontos:
f(x1) = sin(2,5)2,5 approx 0,5984722,5 = 0,239389
f(x2) = sin(3)3 approx 0,1411203 = 0,047040
f(x3) = sin(3,5)3,5 approx -0,3507833,5 = -0,100224
f(x4) = sin(4)4 approx -0,7568024 = -0,189201

Passo 6

Aplicamos agora a regra do trapézio, que é dada por:
integrala^b f(x) dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores que calculamos:
integral2^4 sin(x)x dx approx 0,52 [ 0,454649 + 2(0,239389) + 2(0,047040) + 2(-0,100224) + (-0,189201) ]

Passo 7

Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
0,454649 + 2(0,239389) = 0,454649 + 0,478778 = 0,933427
0,933427 + 2(0,047040) = 0,933427 + 0,094080 = 1,027507
1,027507 + 2(-0,100224) = 1,027507 - 0,200448 = 0,827059
0,827059 + (-0,189201) = 0,637858

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo 0,52 times 0,637858 = 0,25 times 0,637858 = 0,1594645 :

Resposta

A integral aproximada pela regra do trapézio com 4 subintervalos é aproximadamente 0,159465.

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