Seja a função tabelada:
-1 0 1 2
2 1 2 5
Determine o polinômio interpolador do grau utilizando a tabela de diferenças finitas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e queremos encontrar um polinômio de terceiro grau que passe por todos esses pontos. Para isso, vamos usar a tabela de diferenças finitas, que nos ajuda a determinar os coeficientes do polinômio de maneira sistemática.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a tabela de diferenças finitas. A tabela original é:
Vamos calcular as diferenças de primeira, segunda e terceira ordem. As diferenças finitas são obtidas subtraindo valores consecutivos da linha anterior.

Passo 3

Calculando a primeira diferença ( ):
Para os nossos valores:
Então, a primeira diferença fica:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda diferença ( ), usando a primeira diferença:
Aplicando:
Então, a segunda diferença é:

Passo 5

Em seguida, calculamos a terceira diferença ( ):
Aqui:
Então, a terceira diferença é:

Passo 6

Com as diferenças calculadas, podemos montar o polinômio interpolador usando a fórmula das diferenças finitas:
Aqui, , , e .

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos expandir e simplificar o polinômio:
Os termos e se cancelam:

Resposta

O polinômio interpolador de terceiro grau é .

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