Seja a função tabelada:
X -1 0 1 2
F(x) 2 1 2 5
Determine o polinômio interpolador do 3^circ grau utilizando a tabela de diferenças finitas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e queremos encontrar um polinômio de terceiro grau que passe por todos esses pontos. Para isso, vamos usar a tabela de diferenças finitas, que nos ajuda a determinar os coeficientes do polinômio de maneira sistemática.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a tabela de diferenças finitas. A tabela original é:
|c|c|c|c|c| hline X & -1 & 0 & 1 & 2 hline F(X) & 2 & 1 & 2 & 5 hline
Vamos calcular as diferenças de primeira, segunda e terceira ordem. As diferenças finitas são obtidas subtraindo valores consecutivos da linha anterior.

Passo 3

Calculando a primeira diferença ( De):
De
Para os nossos valores:
-1, 1, 3
Então, a primeira diferença fica:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda diferença ( De), usando a primeira diferença:
De
Aplicando:
2, 2
Então, a segunda diferença é:

Passo 5

Em seguida, calculamos a terceira diferença ( De):
De
Aqui:
0
Então, a terceira diferença é:

Passo 6

Com as diferenças calculadas, podemos montar o polinômio interpolador usando a fórmula das diferenças finitas:
P(X) = F(X0) + De
Aqui, , , e .

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
P(X) = 2 + (-1)(X + 1) + 22(X + 1)(X) + 06(X + 1)(X)(X - 1)
Simplificando:
P(X) = 2 - (X + 1) + (X + 1)X

Passo 8

Agora, vamos expandir e simplificar o polinômio:
P(X) = 2 - X - 1 + X^2 + X
Os termos P(X) = 1 + X^2 e se cancelam:

Resposta

O polinômio interpolador de terceiro grau é .

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