Determine o polinômio interpolador do grau utilizando a tabela de diferenças finitas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e queremos encontrar um polinômio de terceiro grau que passe por todos esses pontos. Para isso, vamos usar a tabela de diferenças finitas, que nos ajuda a determinar os coeficientes do polinômio de maneira sistemática.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a tabela de diferenças finitas. A tabela original é:
Vamos calcular as diferenças de primeira, segunda e terceira ordem. As diferenças finitas são obtidas subtraindo valores consecutivos da linha anterior.
Passo 3
Calculando a primeira diferença ():
Para os nossos valores:
Então, a primeira diferença fica:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda diferença (), usando a primeira diferença:
Aplicando:
Então, a segunda diferença é:
Passo 5
Em seguida, calculamos a terceira diferença ():
Aqui:
Então, a terceira diferença é:
Passo 6
Com as diferenças calculadas, podemos montar o polinômio interpolador usando a fórmula das diferenças finitas: