Utilizando a regra do trapézio e a regra de 1 / 3 de Simpson, calcule a integral integral1,2^1,6 sen(x) d x com 4 subintervalos e 6 casas decimais quando for necessário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando duas técnicas: a regra do trapézio e a regra de integral1,2^1,6 sen(x) , dx de Simpson. A gente vai dividir o intervalo em 4 subintervalos e calcular com até 6 casas decimais quando precisar. Para isso, precisamos entender um pouco sobre essas regras de aproximação de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da integral. Nosso intervalo vai de a = 1,2 até b = 1,6. Como vamos usar 4 subintervalos, cada um terá um tamanho h que calculamos assim:
h = b - an = 1,6 - 1,24 = 0,44 = 0,1
Então, cada subintervalo tem comprimento 0,1.

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos de avaliação da função dentro desse intervalo. Com sen(x), os pontos são:
h = 0,1

Passo 4

Vamos começar pela Regra do Trapézio. Essa regra aproxima a integral calculando a área de trapézios formados entre os pontos. A fórmula geral é:
integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn) ]

Passo 5

Aplicando a fórmula com nossos valores:
Calculando cada seno:
Substituindo:
integral1,2^1,6 sen(x) , dx approx 0,12 [ sen(1,2) + 2sen(1,3) + 2sen(1,4) + 2sen(1,5) + sen(1,6) ]

Passo 6

Agora, vamos usar a Regra de 1/3 de Simpson, que geralmente fornece uma aproximação mais precisa para integrais. A fórmula é:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]

Passo 7

Aplicando a fórmula com nossos valores:
Usando os valores calculados anteriormente:
integral1,2^1,6 sen(x) , dx approx 0,13 [ sen(1,2) + 4sen(1,3) + 2sen(1,4) + 4sen(1,5) + sen(1,6) ]

Resposta

Usando a regra do trapézio, a aproximação da integral é aproximadamente 0,391231.
Usando a regra de 1/3 de Simpson, a aproximação da integral é aproximadamente 0,391557.

Exercícios relacionados