(2,5 pontos) Dada a tabela abaixo construa o polinômio linear e calcule o erro cometido utilizando o método dos mínimos quadrados, caso discreto. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.
ccccccccc xi & 0,2 & 0,3 & 0,6 & 0,9 & 1,1 & 1,3 & 1,4 & 1,6 yi & 0,05 & 0,098 & 0,333 & 0,727 & 1,097 & 1,569 & 1,849 & 2,502

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e , e a missão é construir um polinômio linear usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar a melhor linha que se ajusta aos pontos da tabela, minimizando o erro entre os valores observados e os estimados pela linha. A gente vai precisar das fórmulas de soma e um pouquinho de álgebra para achar os coeficientes da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos mínimos quadrados para uma reta a = n sum xi yi - sum xi sum yin sum xi^2 - ( sum xi )^2 . A ideia é encontrar os valores de b = sum yi - a sum xin e sum xi = 0,2 + 0,3 + 0,6 + 0,9 + 1,1 + 1,3 + 1,4 + 1,6 = 7,4 que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados sum yi = 0,05 + 0,098 + 0,333 + 0,727 + 1,097 + 1,569 + 1,849 + 2,502 = 7,233 e os valores estimados pela reta.
As fórmulas que a gente usa são:
sum xi yi = (0,2 times 0,05) + (0,3 times 0,098) + (0,6 times 0,333) + (0,9 times 0,727) + (1,1 times 1,097) + (1,3 times 1,569) + (1,4 times 1,849) + (1,6 times 2,502) = 0,01 + 0,0294 + 0,1998 + 0,6543 + 1,2067 + 2,0397 + 2,5286 + 4,0032 = 10,6704
sum xi^2 = (0,2)^2 + (0,3)^2 + (0,6)^2 + (0,9)^2 + (1,1)^2 + (1,3)^2 + (1,4)^2 + (1,6)^2 = 0,04 + 0,09 + 0,36 + 0,81 + 1,21 + 1,69 + 1,96 + 2,56 = 8,32
Onde a = 8 times 10,6704 - 7,4 times 7,2338 times 8,32 - (7,4)^2 é o número de pontos.
Primeiro, vamos calcular todas as somas que precisamos:
8 times 10,6704 = 85,3632
7,4 times 7,233 = 53,5782
85,3632 - 53,5782 = 31,785
8 times 8,32 = 66,56
Agora, substituímos esses valores nas fórmulas dos coeficientes:
7,4^2 = 54,76
Calculando o numerador:
66,56 - 54,76 = 11,80
a = 31,78511,80 approx 2,695
b = 7,233 - 2,695 times 7,48 = 7,233 - 19,9638 = -12,7308 approx -1,591
Calculando o denominador:
Então,
Agora, calculamos :

Passo 3

Com os valores de y = 2,695,x - 1,591 e encontrados, a equação da reta fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro cometido pela nossa reta usando o método dos mínimos quadrados. O erro é a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais Erro1 &= (0,05 - (2,695 times 0,2 - 1,591))^2 = (0,05 - (-1,051))^2 approx (1,101)^2 approx 1,213 Erro2 &= (0,098 - (2,695 times 0,3 - 1,591))^2 = (0,098 - (-0,0015))^2 approx (0,0995)^2 approx 0,010 Erro3 &= (0,333 - (2,695 times 0,6 - 1,591))^2 = (0,333 - (1,617 - 1,591))^2 = (0,333 - 0,026)^2 approx (0,307)^2 approx 0,094 Erro4 &= (0,727 - (2,695 times 0,9 - 1,591))^2 = (0,727 - (2,4255 - 1,591))^2 = (0,727 - 0,8345)^2 approx (-0,1075)^2 approx 0,012 Erro5 &= (1,097 - (2,695 times 1,1 - 1,591))^2 = (1,097 - (2,9645 - 1,591))^2 = (1,097 - 1,3735)^2 approx (-0,2765)^2 approx 0,076 Erro6 &= (1,569 - (2,695 times 1,3 - 1,591))^2 = (1,569 - (3,5035 - 1,591))^2 = (1,569 - 1,9125)^2 approx (-0,3435)^2 approx 0,118 Erro7 &= (1,849 - (2,695 times 1,4 - 1,591))^2 = (1,849 - (3,773 - 1,591))^2 = (1,849 - 2,182)^2 approx (-0,333)^2 approx 0,111 Erro8 &= (2,502 - (2,695 times 1,6 - 1,591))^2 = (2,502 - (4,312 - 1,591))^2 = (2,502 - 2,721)^2 approx (-0,219)^2 approx 0,048 e os valores estimados pela reta Erro Total = 1,213 + 0,010 + 0,094 + 0,012 + 0,076 + 0,118 + 0,111 + 0,048 approx 1,682 .
Vamos calcular cada erro individualmente:
Agora, somamos todos esses erros:

Resposta

O polinômio linear construído é e o erro cometido pelo método dos mínimos quadrados é aproximadamente .

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