(2,5 pontos) Dada a tabela abaixo construa o polinômio linear e calcule o erro cometido utilizando o método dos mínimos quadrados, caso discreto. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e , e a missão é construir um polinômio linear usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar a melhor linha que se ajusta aos pontos da tabela, minimizando o erro entre os valores observados e os estimados pela linha. A gente vai precisar das fórmulas de soma e um pouquinho de álgebra para achar os coeficientes da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos mínimos quadrados para uma reta . A ideia é encontrar os valores de e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pela reta.
As fórmulas que a gente usa são:
Onde é o número de pontos.
Primeiro, vamos calcular todas as somas que precisamos:
Agora, substituímos esses valores nas fórmulas dos coeficientes:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então,
Agora, calculamos :

Passo 3

Com os valores de e encontrados, a equação da reta fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro cometido pela nossa reta usando o método dos mínimos quadrados. O erro é a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores estimados pela reta .
Vamos calcular cada erro individualmente:
Agora, somamos todos esses erros:

Resposta

O polinômio linear construído é e o erro cometido pelo método dos mínimos quadrados é aproximadamente .

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