(2,5 pontos) Dada a tabela abaixo construa o polinômio linear e calcule o erro cometido utilizando o método dos mínimos quadrados, caso discreto. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de
e
, e a missão é construir um polinômio linear usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar a melhor linha que se ajusta aos pontos da tabela, minimizando o erro entre os valores observados e os estimados pela linha. A gente vai precisar das fórmulas de soma e um pouquinho de álgebra para achar os coeficientes da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos mínimos quadrados para uma reta
. A ideia é encontrar os valores de
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados
e os valores estimados pela reta.
As fórmulas que a gente usa são:
Onde
é o número de pontos.
Primeiro, vamos calcular todas as somas que precisamos:
Agora, substituímos esses valores nas fórmulas dos coeficientes:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então,
Agora, calculamos
:
Passo 3
Com os valores de
e
encontrados, a equação da reta fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro cometido pela nossa reta usando o método dos mínimos quadrados. O erro é a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais
e os valores estimados pela reta
.
Vamos calcular cada erro individualmente:
Agora, somamos todos esses erros:
Resposta
O polinômio linear construído é
e o erro cometido pelo método dos mínimos quadrados é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
Esboce a região definida em coordenadas polares pela inequação
Calcule a sua área.
(2,5 pontos) Encontre o polinômio linear de
no intervalo de
utilizando o método dos mínimos quadrados, caso contínuo. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.
(2,5 pontos) Use os polinômios de Lagrange de graus 1,2 e 3 para aproximar
se
18,50515 e