Calcule integral1^7 e^-x^2 d x (trabalhe com 4 casas decimais após a vírgula):
d) pelo método 1 / 3 composto com 6 subintervalos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida usando o método 1/3 composto com 6 subintervalos. Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, especificamente aos métodos numéricos de integração. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar a Regra de Simpson 1/3 composta, que é uma técnica para aproximar o valor de integrais quando não conseguimos encontrar a antiderivada facilmente.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o tamanho de cada subintervalo ( h = b - an ). A fórmula para h = 7 - 16 = 1 é:
Onde:
  • (limite inferior da integral)
  • (limite superior da integral)
  • (número de subintervalos, que deve ser par no método de Simpson 1/3)
Vamos calcular :
Então, cada subintervalo tem comprimento 1.

Passo 3

Agora, identificamos os pontos (ou nós) onde vamos avaliar a função x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4, x4 = 5, x5 = 6, x6 = 7 . Com subintervalos e , os pontos são:

Passo 4

Vamos calcular o valor da função f(x0) &= e^-1^2 = e^-1 approx 0.3679 f(x1) &= e^-2^2 = e^-4 approx 0.0183 f(x2) &= e^-3^2 = e^-9 approx 0.0001 f(x3) &= e^-4^2 = e^-16 approx 0.0000 f(x4) &= e^-5^2 = e^-25 approx 0.0000 f(x5) &= e^-6^2 = e^-36 approx 0.0000 f(x6) &= e^-7^2 = e^-49 approx 0.0000 em cada um desses pontos:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Simpson 1/3 composta. A fórmula geral é:
integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumímpar f(xi) + 2 sumpar, exceto n f(xi) + f(xn) ] í
Vamos identificar quais Ímpares: &x1, x3, x5 Pares: &x2, x4 são ímpares e quais são pares (excluindo integral1^7 e^-x^2 dx approx 13 [ &f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) &+ 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ] ):
approx 13 [ &0.3679 + 4(0.0183 + 0.0000 + 0.0000) &+ 2(0.0001 + 0.0000) + 0.0000 ] Í
Agora, substituímos na fórmula:
Substituindo os valores de :

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule os termos com 4 multiplicando:
4(0.0183 + 0.0000 + 0.0000) = 4 times 0.0183 = 0.0732
Depois, os termos com 2 multiplicando:
2(0.0001 + 0.0000) = 2 times 0.0001 = 0.0002
Agora, some todos os termos:
0.3679 + 0.0732 + 0.0002 + 0.0000 = 0.4413
Finalmente, multiplique por 13 times 0.4413 approx 0.1471 :

Resposta

A aproximação da integral pelo método 1/3 composto com 6 subintervalos é aproximadamente 0,1471.

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