Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a série de Maclaurin para a função
. A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e derivação.
Passo 2
Começamos lembrando a série de Maclaurin para
, que é uma série geométrica. Sabemos que:
para
.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Observamos que é a derivada de
em relação a
, multiplicada por
:
Portanto:
Passo 4
Vamos derivar a série que encontramos no Passo 2 termo a termo:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Para facilitar a expressão, vamos reindexar a soma substituindo
por
, onde
. Assim,
:
Passo 6
Portanto, a série de Maclaurin para
é:
Resposta
A série de Maclaurin de
é: