Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin.
f(x)=1(1+x)^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e derivação.

Passo 2

Começamos lembrando a série de Maclaurin para 11+x = sumn=0^infty (-1)^n x^n , que é uma série geométrica. Sabemos que:
para .

Passo 3

Agora, queremos a série para ddx ( 11+x ) = -1(1+x)^2 . Observamos que é a derivada de 1(1+x)^2 = -ddx ( 11+x ) em relação a , multiplicada por :
Portanto:

Passo 4

Vamos derivar a série que encontramos no Passo 2 termo a termo:
ddx ( 11+x ) = ddx ( sumn=0^infty (-1)^n x^n ) = sumn=0^infty (-1)^n ddx ( x^n )
Sabemos que ddx ( 11+x ) = sumn=0^infty (-1)^n n x^n-1 , então:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 1(1+x)^2 = -sumn=0^infty (-1)^n n x^n-1 = sumn=0^infty (-1)^n+1 n x^n-1 , obtemos:
1(1+x)^2 = sumk=-1^infty (-1)^(k+1)+1 (k+1) x^k = sumk=0^infty (-1)^k (k+1) x^k
Para facilitar a expressão, vamos reindexar a soma substituindo por , onde . Assim, :

Passo 6

Portanto, a série de Maclaurin para 1(1+x)^2 = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) x^n é:

Resposta

A série de Maclaurin de 1(1+x)^2 = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) x^n para |x| < 1 é:

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