Verdadeiro ou falso? Apresente justificativas para as afirmações falsas. Se an e bn são ambas sequências divergentes, então an+bn é divergente.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. O exercício está na área de sequences (sequências) da matemática, mais especificamente lidando com sequências divergentes. Precisamos verificar se a afirmação “Se an e bn são ambas sequências divergentes, então an+bn é divergente” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser divergente e como a soma de duas sequências se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência divergente. Uma sequência an é divergente se ela não converge para nenhum número finito. Ou seja, à medida que n aumenta, os termos da sequência não se aproximam de um valor fixo.
Agora, queremos saber se a soma de duas sequências divergentes an + bn também é divergente. A resposta não é sempre sim.

Passo 3

Vamos considerar um exemplo para ilustrar isso. Imagine que temos:
  • an = n, que claramente diverge para +infty.
  • bn = -n, que diverge para -infty.
Se somarmos essas duas sequências:
an + bn = n + (-n) = 0
A sequência resultante é 0, que é constante e, portanto, convergente para 0, apesar de ambas as sequências originais serem divergentes.

Passo 4

Esse exemplo mostra que mesmo que an e bn sejam divergentes, a soma an + bn pode ser convergente. Portanto, a afirmação dada não é sempre verdadeira.

Resposta

Falso. Existem sequências divergentes an e bn cuja soma an+bn é convergente.

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