Calcule a inversa f^-1(x): f(x)=ln (2 x-1)+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a inversa da função . A matéria que estamos usando aqui é funções inversas e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como inverter uma função e manipular expressões logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função original de forma mais simples. Vamos chamar y = ln(2x - 1) + 3 :

Passo 3

Para encontrar a inversa, a gente troca x = ln(2y - 1) + 3 e . Então:

Passo 4

Nosso objetivo agora é isolar x - 3 = ln(2y - 1) . Vamos começar subtraindo 3 de ambos os lados:

Passo 5

Agora, para eliminar o logaritmo, usamos a propriedade que e^x - 3 = 2y - 1 elevado ao logaritmo dá o argumento do logaritmo:

Passo 6

Em seguida, vamos isolar e^x - 3 + 1 = 2y adicionando 1 em ambos os lados:

Passo 7

Por fim, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar y = e^x - 3 + 12 :

Resposta

A inversa da função é:
f^-1(x) = e^x - 3 + 12

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