Sendo , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos mostrar que a inversa dessa função, , é igual a mesma. Isso está relacionado ao conteúdo de funções e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a função inversa e verificar se, de fato, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa é aquela que, quando composta com , retorna . Ou seja, . Para encontrar a inversa de , precisamos resolver a equação para em termos de .

Passo 3

Vamos começar substituindo por :
Nosso objetivo é isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 4

Agora, distribuímos dentro dos parênteses:
Queremos reunir os termos com de um lado e os demais do outro lado. Vamos mover para o lado esquerdo e para o lado direito:

Passo 5

Fatorando no lado esquerdo:
Agora, para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Pronto! Encontramos em termos de :
Perceba que essa expressão é exatamente a mesma que a função original . Portanto, concluímos que:

Resposta

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Calcule a inversa :
Calcule a inversa :
Determine o domínio de:
Construir o gráfico das funções: , se