Sendo f(x)=a x+bc x-a, mostre que f^-1(x)=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos mostrar que a inversa dessa função, , é igual a mesma. Isso está relacionado ao conteúdo de funções e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a função inversa e verificar se, de fato, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa é aquela que, quando composta com , retorna . Ou seja, . Para encontrar a inversa de , precisamos resolver a equação para em termos de .

Passo 3

Vamos começar substituindo y = a x + bc x - a por y (c x - a) = a x + b :
Nosso objetivo é isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 4

Agora, distribuímos c y x - a y = a x + b dentro dos parênteses:
c y x - a x = a y + b
Queremos reunir os termos com de um lado e os demais do outro lado. Vamos mover para o lado esquerdo e para o lado direito:

Passo 5

Fatorando x (c y - a) = a y + b no lado esquerdo:
x = a y + bc y - a
Agora, para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Pronto! Encontramos f^-1(y) = a y + bc y - a em termos de f^-1(x) = f(x) :
Perceba que essa expressão é exatamente a mesma que a função original . Portanto, concluímos que:

Resposta

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