Sendo
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos mostrar que a inversa dessa função,
, é igual a
mesma. Isso está relacionado ao conteúdo de funções e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a função inversa e verificar se, de fato,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa
é aquela que, quando composta com
, retorna
. Ou seja,
. Para encontrar a inversa de
, precisamos resolver a equação
para
em termos de
.
Passo 3
Vamos começar substituindo
por
:
Nosso objetivo é isolar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Agora, distribuímos
dentro dos parênteses:
Queremos reunir os termos com
de um lado e os demais do outro lado. Vamos mover
para o lado esquerdo e
para o lado direito:
Passo 5
Fatorando
no lado esquerdo:
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Pronto! Encontramos
em termos de
:
Perceba que essa expressão é exatamente a mesma que a função original
. Portanto, concluímos que:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a inversa
:
Calcule a inversa
:
Determine o domínio de:
Construir o gráfico das funções:
, se