Calcule a inversa f^-1(x): f(x)=2 x+1x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a função inversa de . Aqui, estamos lidando com funções inversas, que basicamente “desfazem” o que a função original faz. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para isolar em termos de e depois trocar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir y = 2x + 1x - 1 por para facilitar a manipulação:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador y(x - 1) = 2x + 1 para eliminar a fração:
yx - y = 2x + 1
Distribuindo o :

Passo 4

Queremos isolar yx - 2x = y + 1 , então vamos reunir os termos que contêm x(y - 2) = y + 1 de um lado e os demais termos do outro lado:
Fatorando o do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, para isolar x = y + 1y - 2 , dividimos ambos os lados por :
Isso nos dá a expressão de em termos de .

Passo 6

Para encontrar a função inversa, trocamos f^-1(x) = x + 1x - 2 por na expressão que obtivemos:

Resposta

A função inversa de f^-1(x) = x + 1x - 2 é:

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