Calcule a inversa :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a função inversa de . Aqui, estamos lidando com funções inversas, que basicamente “desfazem” o que a função original faz. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para isolar em termos de e depois trocar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por para facilitar a manipulação:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Distribuindo o :

Passo 4

Queremos isolar , então vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado:
Fatorando o do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, para isolar , dividimos ambos os lados por :
Isso nos dá a expressão de em termos de .

Passo 6

Para encontrar a função inversa, trocamos por na expressão que obtivemos:

Resposta

A função inversa de é:

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Se , calcule
Calcule a inversa :
Sendo , mostre que .