Se f(x)=x+1x-1, calcule f(x)-f(2)x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular a expressão . Isso está relacionado a entender como a função se comporta em torno de um ponto específico, e para resolver isso, vamos precisar manipular frações e entender o conceito de diferença de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(2) = 2 + 12 - 1 = 31 = 3 . Substituímos por 2 na função:

Passo 3

Agora, substituímos f(x) - f(2)x - 2 = x + 1x - 1 - 3x - 2 na expressão original:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador. Para isso, precisamos ter o mesmo denominador nas duas frações:
x + 1x - 1 - 3 = x + 1x - 1 - 3(x - 1)x - 1 = x + 1 - 3(x - 1)x - 1

Passo 5

Simplificando o numerador da fração resultante:
x + 1 - 3(x - 1) = x + 1 - 3x + 3 = -2x + 4
Então, a expressão fica:
-2x + 4x - 1

Passo 6

Agora, voltando à expressão original:
f(x) - f(2)x - 2 = -2x + 4x - 1x - 2 = -2x + 4(x - 1)(x - 2)

Passo 7

Podemos fatorar o numerador:
-2x + 4 = -2(x - 2)
Substituindo de volta:
-2(x - 2)(x - 1)(x - 2) = -2x - 1

Resposta

Portanto, .

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