Calcule a inversa f^-1(x): f(x)=e^x+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e o que a gente quer é descobrir a função inversa dela, que a gente chama de . Pra fazer isso, vamos mexer com exponenciais e logaritmos, que são as ferramentas que precisamos usar aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a função do jeito que tá com y = e^x + 5 . Então, escrevemos:
Isso facilita pra gente trabalhar com as próximas etapas.

Passo 3

Agora, pra encontrar a inversa, a gente troca x = e^y + 5 e . Ou seja, a gente coloca onde tinha e vice-versa:
Isso é importante porque a inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz.

Passo 4

O próximo passo é isolar o x - 5 = e^y . Primeiro, vamos tirar o 5 do lado direito subtraindo 5 dos dois lados:
Agora, a gente tem isolado de um lado da equação.

Passo 5

Pra tirar o ln(x - 5) = y da equação, a gente usa o logaritmo natural (ln), que é o inverso da função exponencial. Aplicando o ln nos dois lados:
Prontinho! Agora a gente resolveu para , que é a nossa inversa.

Resposta

A função inversa é:
f^-1(x) = ln(x - 5)

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