Decompor em soma de frações elementares das seguintes funções
f(x) & =1(x^2-1) f(x) & =x+1x(x-1)(x-2) f(x) & =x^2-x-1(x-1)(x-2)(x-3) f(x) & =1x^4-1 f(x) & =x^2+4x(x-1) f(x) & =x^2+1(x+1)(x+3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de decomposição em frações elementares para a função:
f(x) = 1x^2 - 1
Conteúdo da matéria: Vamos usar o conceito de frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração racional em uma soma de frações mais simples.
O que precisamos:
  • Fatorar o denominador.
  • Expressar a função original como uma soma de frações com denominadores fatorados.
  • Determinar os numeradores desconhecidos resolvendo um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função. Temos:
x^2 - 1
Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Passo 3

Agora, vamos escrever a função original como uma soma de frações com os denominadores fatorados:
1(x - 1)(x + 1) = Ax - 1 + Bx + 1
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar 1 = A(x + 1) + B(x - 1) e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Agora, vamos escolher valores de 1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) 1 = 2A + 0 A = 12 que simplifiquem a resolução. Uma boa estratégia é escolher valores que anulam um dos termos:
  1. Escolha 1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) 1 = 0 + B(-2) B = -12 :
  1. Escolha :

Passo 6

Agora que encontramos 1(x - 1)(x + 1) = 12x - 1 + -12x + 1 e 1x^2 - 1 = 12(x - 1) - 12(x + 1) , substituímos de volta na equação das frações:
Simplificando:

Resposta

A decomposição em frações elementares da função 1x^2 - 1 = 12(x - 1) - 12(x + 1) é:

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