Newton Sejam e . Provar que o coeficiente de do polinômio que interpola a tabela , é diferente de zero.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício que envolve interpolação de polinômios. A questão nos pede para considerar pontos em ordem crescente e construir um polinômio que passa por esses pontos, sendo que os primeiros pontos têm valor 0 e os restantes têm valor 1. Nosso objetivo é provar que o coeficiente de nesse polinômio não é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de polinômios e trabalhar com a forma geral desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de interpolação que passa por pontos distintos tem grau no máximo . A forma geral desse polinômio pode ser escrita como:
Nosso foco é mostrar que o coeficiente , que multiplica o termo de maior grau , é diferente de zero.

Passo 3

Para encontrar o polinômio de interpolação, podemos usar a fórmula de Newton. Ela expressa o polinômio em termos de diferenças divididas:
Aqui, representa a diferença dividida de ordem .

Passo 4

Notamos que o termo de maior grau, , vem do produto . O coeficiente será exatamente a diferença dividida de ordem , ou seja:
Então, para provar que , precisamos mostrar que essa diferença dividida não é zero.

Passo 5

Vamos calcular a diferença dividida . Como nossos pontos têm para e para , o polinômio que interpola esses pontos muda de valor exatamente no ponto .

Passo 6

Observamos que a diferença dividida de ordem para esses pontos será proporcional à variação nos valores dos . Como há uma mudança de 0 para 1, essa diferença dividida não será zero. Mais formalmente, em termos de matrizes de Vandermonde, que são usadas para garantir a unicidade do polinômio interpolador, o determinante dessa matriz será diferente de zero se os forem distintos, o que é nosso caso.

Resposta

Portanto, o coeficiente de no polinômio que interpola a tabela dada é diferente de zero.

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Considere a função
no intervalo . Determine o menor pontos distintos de , tal que o erro da interpolação de pelo polinômio que interpola em seja menor que 0.00005 para todo .
Considere a função
no intervalo . Determine o menor pontos distintos de , tal que o erro da interpolação de pelo polinômio que interpola em seja menor que 0.0001 para todo .
Decompor em soma de frações elementares das seguintes funções
Calcule a inversa :