Newton Sejam n in N e x0. Provar que o coeficiente de x^n do polinômio que interpola a tabela (x0, 0), ldots,(xi, 0),(xi+1, 1), ldots,(xn, 1), é diferente de zero.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício que envolve interpolação de polinômios. A questão nos pede para considerar n pontos em ordem crescente x0 < x1 < ldots < xn e construir um polinômio que passa por esses pontos, sendo que os primeiros i+1 pontos têm valor 0 e os restantes têm valor 1. Nosso objetivo é provar que o coeficiente de x^n nesse polinômio não é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de polinômios e trabalhar com a forma geral desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de interpolação que passa por n+1 pontos distintos tem grau no máximo n. A forma geral desse polinômio pode ser escrita como:
P(x) = anx^n + an-1x^n-1 + ldots + a0
Nosso foco é mostrar que o coeficiente an, que multiplica o termo de maior grau x^n, é diferente de zero.

Passo 3

Para encontrar o polinômio de interpolação, podemos usar a fórmula de Newton. Ela expressa o polinômio em termos de diferenças divididas:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + ldots + f[x0, x1, ldots, xn](x - x0)(x - x1)ldots(x - xn-1)
Aqui, f[x0, x1, ldots, xk] representa a diferença dividida de ordem k.

Passo 4

Notamos que o termo de maior grau, x^n, vem do produto (x - x0)(x - x1)ldots(x - xn-1). O coeficiente an será exatamente a diferença dividida de ordem n, ou seja:
an = f[x0, x1, ldots, xn]
Então, para provar que an neq 0, precisamos mostrar que essa diferença dividida não é zero.

Passo 5

Vamos calcular a diferença dividida f[x0, x1, ldots, xn]. Como nossos pontos (xj, yj) têm yj = 0 para j <= i e yj = 1 para j > i, o polinômio que interpola esses pontos muda de valor exatamente no ponto xi.

Passo 6

Observamos que a diferença dividida de ordem n para esses pontos será proporcional à variação nos valores dos yj. Como há uma mudança de 0 para 1, essa diferença dividida não será zero. Mais formalmente, em termos de matrizes de Vandermonde, que são usadas para garantir a unicidade do polinômio interpolador, o determinante dessa matriz será diferente de zero se os xj forem distintos, o que é nosso caso.

Resposta

Portanto, o coeficiente de x^n no polinômio que interpola a tabela dada é diferente de zero.

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