Newton Sejam
e
. Provar que o coeficiente de
do polinômio que interpola a tabela
, é diferente de zero.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício que envolve interpolação de polinômios. A questão nos pede para considerar
pontos em ordem crescente
e construir um polinômio que passa por esses pontos, sendo que os primeiros
pontos têm valor 0 e os restantes têm valor 1. Nosso objetivo é provar que o coeficiente de
nesse polinômio não é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de polinômios e trabalhar com a forma geral desse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de interpolação que passa por
pontos distintos tem grau no máximo
. A forma geral desse polinômio pode ser escrita como:
Nosso foco é mostrar que o coeficiente
, que multiplica o termo de maior grau
, é diferente de zero.
Passo 3
Para encontrar o polinômio de interpolação, podemos usar a fórmula de Newton. Ela expressa o polinômio em termos de diferenças divididas:
Aqui,
representa a diferença dividida de ordem
.
Passo 4
Notamos que o termo de maior grau,
, vem do produto
. O coeficiente
será exatamente a diferença dividida de ordem
, ou seja:
Então, para provar que
, precisamos mostrar que essa diferença dividida não é zero.
Passo 5
Vamos calcular a diferença dividida
. Como nossos pontos
têm
para
e
para
, o polinômio que interpola esses pontos muda de valor exatamente no ponto
.
Passo 6
Observamos que a diferença dividida de ordem
para esses pontos será proporcional à variação nos valores dos
. Como há uma mudança de 0 para 1, essa diferença dividida não será zero. Mais formalmente, em termos de matrizes de Vandermonde, que são usadas para garantir a unicidade do polinômio interpolador, o determinante dessa matriz será diferente de zero se os
forem distintos, o que é nosso caso.
Resposta
Portanto, o coeficiente de
no polinômio que interpola a tabela dada é diferente de zero.
Exercícios relacionados
Considere a função
no intervalo
. Determine o menor
pontos distintos
de
, tal que o erro da interpolação de
pelo polinômio
que interpola
em
seja menor que 0.00005 para todo
.
Considere a função
no intervalo
. Determine o menor
pontos distintos
de
, tal que o erro da interpolação de
pelo polinômio
que interpola
em
seja menor que 0.0001 para todo
.
Decompor em soma de frações elementares das seguintes funções
Calcule a inversa
: