Calcule a inversa da matriz utilizando um dos métodos dados em aula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra achar a inversa da seguinte matriz usando um dos métodos que aprendemos na aula:
Aqui, vamos trabalhar com matrizes e usar o método de eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a inversa. Isso vai envolver algumas operações básicas de linha para transformar a matriz original na identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz inversa. A matriz inversa de uma matriz é uma matriz tal que:
Onde é a matriz identidade. Para encontrar , vamos criar uma matriz aumentada , onde é a identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é transformar na identidade usando operações de linha, e as mesmas operações serão aplicadas na identidade para virar .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada :
Agora, vamos começar a fazer as operações de linha para transformar a parte esquerda dessa matriz na identidade.

Passo 4

Primeiro, queremos ter um 1 no canto superior esquerdo. Para isso, dividimos a primeira linha ( ) por 25:

Passo 5

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 que está na primeira coluna. Vamos fazer isso subtraindo 64 vezes da segunda linha ( ) e 144 vezes da terceira linha ( ):
Aplicando essas operações:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, queremos ter um 1 na posição (2,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha ( ) por :
Calculando os valores:
á
Continuando a matriz:

Passo 7

Agora, queremos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, vamos zerar o elemento acima ( na posição (1,2)) subtraindo vezes da primeira linha ( ):
Depois, vamos zerar o elemento abaixo ( na posição (3,2)) subtraindo vezes da terceira linha ( ):
Aplicando essas operações:
[Nota: Devido à complexidade dos cálculos, é importante realizar cada operação cuidadosamente, garantindo que todas as frações sejam simplificadas corretamente.]

Passo 8

Continuando, após zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna, vamos focar na terceira coluna. Queremos ter um 1 na posição (3,3). Para isso, dividimos a terceira linha ( ) pelo coeficiente que está na posição (3,3).
Depois de ajustar, a parte esquerda da matriz deve estar na forma da matriz identidade, e a parte direita será a inversa .

Resposta

Após realizar todas as operações de linha necessárias, a matriz inversa é:

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Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
c) e .
Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
d) e .
Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
a) e .
Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
b) e .