Calcule a inversa da matriz utilizando um dos métodos dados em aula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra achar a inversa da seguinte matriz usando um dos métodos que aprendemos na aula:
Aqui, vamos trabalhar com matrizes e usar o método de eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a inversa. Isso vai envolver algumas operações básicas de linha para transformar a matriz original na identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz inversa. A matriz inversa de uma matriz é uma matriz tal que:
Onde é a matriz identidade. Para encontrar , vamos criar uma matriz aumentada , onde é a identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é transformar na identidade usando operações de linha, e as mesmas operações serão aplicadas na identidade para virar .
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada :
Agora, vamos começar a fazer as operações de linha para transformar a parte esquerda dessa matriz na identidade.
Passo 4
Primeiro, queremos ter um 1 no canto superior esquerdo. Para isso, dividimos a primeira linha () por 25:
Passo 5
Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 que está na primeira coluna. Vamos fazer isso subtraindo 64 vezes da segunda linha () e 144 vezes da terceira linha ():
Aplicando essas operações:
Passo 6
Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, queremos ter um 1 na posição (2,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha () por :
Calculando os valores:
á
Continuando a matriz:
Passo 7
Agora, queremos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, vamos zerar o elemento acima ( na posição (1,2)) subtraindo vezes da primeira linha ():
Depois, vamos zerar o elemento abaixo ( na posição (3,2)) subtraindo vezes da terceira linha ():
Aplicando essas operações:
[Nota: Devido à complexidade dos cálculos, é importante realizar cada operação cuidadosamente, garantindo que todas as frações sejam simplificadas corretamente.]
Passo 8
Continuando, após zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna, vamos focar na terceira coluna. Queremos ter um 1 na posição (3,3). Para isso, dividimos a terceira linha () pelo coeficiente que está na posição (3,3).
Depois de ajustar, a parte esquerda da matriz deve estar na forma da matriz identidade, e a parte direita será a inversa .
Resposta
Após realizar todas as operações de linha necessárias, a matriz inversa é: