Considere o sistema linear A X=B, onde A e B são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de (A mid B), posto de A, diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
a) A=(lll1 & 3 & 1 2 & 6 & 9 2 & 8 & 8) e B=(l1 7 6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema linear A = 1 & 3 & 1 2 & 6 & 9 2 & 8 & 8 e B = 1 7 6 onde:
O que precisamos fazer aqui é calcular o posto da matriz aumentada e o posto da matriz . Isso vai nos ajudar a entender quantas soluções o sistema possui e encontrar todas elas. Vamos usar conceitos de álgebra linear como escalonamento de matrizes e regra de Rouché-Capelli.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada (A mid B) = 1 & 3 & 1 & | & 1 2 & 6 & 9 & | & 7 2 & 8 & 8 & | & 6 :
Nosso objetivo é simplificar essa matriz usando operações elementares para descobrir os postos.

Passo 3

Vamos começar a escalonar a matriz. Primeiro, usamos a primeira linha para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da coluna.
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1
1 & 3 & 1 & | & 1 0 & 0 & 7 & | & 5 2 & 8 & 8 & | & 6
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R1
1 & 3 & 1 & | & 1 0 & 0 & 7 & | & 5 0 & 2 & 6 & | & 4

Passo 4

Agora, vamos simplificar a terceira linha. Divida a segunda linha por 7 para facilitar:
R2 = 17R2
1 & 3 & 1 & | & 1 0 & 0 & 1 & | & 57 0 & 2 & 6 & | & 4
Em seguida, usamos a segunda linha para zerar o elemento acima dela na terceira coluna.
Subtraia 6 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 6R2
1 & 3 & 1 & | & 1 0 & 0 & 1 & | & 57 0 & 2 & 0 & | & 27

Passo 5

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por 2:
R3 = 12R3
1 & 3 & 1 & | & 1 0 & 0 & 1 & | & 57 0 & 1 & 0 & | & 17
Usamos a terceira linha para zerar o elemento acima dela na segunda coluna.
Subtraia 3 vezes a terceira linha da primeira linha:
R1 = R1 - 3R3
1 & 0 & 1 & | & 47 0 & 0 & 1 & | & 57 0 & 1 & 0 & | & 17

Passo 6

Agora, temos a matriz escalonada:
1 & 0 & 1 & | & 47 0 & 0 & 1 & | & 57 0 & 1 & 0 & | & 17
Podemos identificar que todas as linhas têm um pivô (elemento líder), então o posto da matriz aumentada é 3. Olhando para a matriz , também vemos que ela tem 3 pivôs, então o posto de é 3.

Passo 7

De acordo com a regra de Rouché-Capelli, se o posto da matriz aumentada for igual ao posto da matriz dos coeficientes, o sistema tem soluções. Além disso, como o número de incógnitas (3) é maior que o posto (3), o sistema terá uma única solução.
Vamos agora escrever as equações correspondentes à matriz escalonada:
x1 + x3 = 47 x3 = 57 x2 = 17
Substituindo x1 + 57 = 47 Rightarrow x1 = 47 - 57 = -17 na primeira equação:

Resposta

O posto da matriz aumentada x1 = -17 x2 = 17 x3 = 57 é 3, o posto da matriz é 3. O sistema possui uma única solução, que é:

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