Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
a) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema linear onde:
O que precisamos fazer aqui é calcular o posto da matriz aumentada e o posto da matriz . Isso vai nos ajudar a entender quantas soluções o sistema possui e encontrar todas elas. Vamos usar conceitos de álgebra linear como escalonamento de matrizes e regra de Rouché-Capelli.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada :
Nosso objetivo é simplificar essa matriz usando operações elementares para descobrir os postos.
Passo 3
Vamos começar a escalonar a matriz. Primeiro, usamos a primeira linha para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da coluna.
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a terceira linha. Divida a segunda linha por 7 para facilitar:
Em seguida, usamos a segunda linha para zerar o elemento acima dela na terceira coluna.
Subtraia 6 vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por 2:
Usamos a terceira linha para zerar o elemento acima dela na segunda coluna.
Subtraia 3 vezes a terceira linha da primeira linha:
Passo 6
Agora, temos a matriz escalonada:
Podemos identificar que todas as linhas têm um pivô (elemento líder), então o posto da matriz aumentada é 3. Olhando para a matriz , também vemos que ela tem 3 pivôs, então o posto de é 3.
Passo 7
De acordo com a regra de Rouché-Capelli, se o posto da matriz aumentada for igual ao posto da matriz dos coeficientes, o sistema tem soluções. Além disso, como o número de incógnitas (3) é maior que o posto (3), o sistema terá uma única solução.
Vamos agora escrever as equações correspondentes à matriz escalonada:
Substituindo na primeira equação:
Resposta
O posto da matriz aumentada é 3, o posto da matriz é 3. O sistema possui uma única solução, que é: