Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
a) e B=(l1 7 6).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema linear A = 1 & 3 & 1 2 & 6 & 9 2 & 8 & 8 e B = 1 7 6 onde:
O que precisamos fazer aqui é calcular o posto da matriz aumentada e o posto da matriz . Isso vai nos ajudar a entender quantas soluções o sistema possui e encontrar todas elas. Vamos usar conceitos de álgebra linear como escalonamento de matrizes e regra de Rouché-Capelli.
Podemos identificar que todas as linhas têm um pivô (elemento líder), então o posto da matriz aumentada é 3. Olhando para a matriz , também vemos que ela tem 3 pivôs, então o posto de é 3.
Passo 7
De acordo com a regra de Rouché-Capelli, se o posto da matriz aumentada for igual ao posto da matriz dos coeficientes, o sistema tem soluções. Além disso, como o número de incógnitas (3) é maior que o posto (3), o sistema terá uma única solução.
Vamos agora escrever as equações correspondentes à matriz escalonada:
x1 + x3 = 47 x3 = 57 x2 = 17
Substituindo x1 + 57 = 47 Rightarrow x1 = 47 - 57 = -17 na primeira equação:
Resposta
O posto da matriz aumentada x1 = -17 x2 = 17 x3 = 57 é 3, o posto da matriz é 3. O sistema possui uma única solução, que é: