Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
b) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear . Aqui, temos a matriz de dimensão e o vetor com 3 entradas. Nosso objetivo é calcular o posto de e do sistema ampliado , descobrir quantas soluções o sistema possui e, por fim, expressar todas as soluções possíveis. Para isso, vamos precisar usar operações com matrizes para simplificar e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada :
Passo 3
Agora, vamos reduzir a matriz aumentada para a forma escalonada usando operações com linhas. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 na primeira linha, primeira coluna).
Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Subtraia a primeira linha da terceira linha:
A matriz agora fica:
Passo 4
Percebemos que a segunda e terceira linhas são iguais. Vamos eliminar a terceira linha subtraindo a segunda dela:
Agora, a matriz fica:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por -2 para facilitar:
A matriz agora está:
Passo 6
Vamos eliminar o 2 da primeira linha na segunda coluna usando a segunda linha:
A matriz reduzida fica:
Passo 7
Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos determinar os postos:
O posto da matriz é o número de linhas não nulas na matriz reduzida de , que aqui é 2.
O posto da matriz aumentada também é 2, já que não houve inconsistências.
Como os postos são iguais e menores que o número de incógnitas (5), o sistema possui infinitas soluções.
Passo 8
Vamos expressar as soluções. As variáveis correspondentes às colunas sem pivôs serão as livres. Observando a matriz reduzida, as colunas 3, 4 e 5 não têm pivôs, então e serão livres.
Vamos escrever as equações correspondentes:
Resolvendo para e :
As outras variáveis são livres e podem ser qualquer número real.
Resposta
O posto de é 2, o posto da matriz aumentada também é 2. Portanto, o sistema possui infinitas soluções. O conjunto de todas as soluções pode ser expresso como: