Considere o sistema linear A X=B, onde A e B são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de (A mid B), posto de A, diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
b) A=(ccccc1 & 2 & 3 & 1 & 2 3 & 4 & 5 & 3 & 4 1 & 0 & -1 & 1 & 0) e B=(l2 6 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear . Aqui, temos a matriz de dimensão e o vetor com 3 entradas. Nosso objetivo é calcular o posto de e do sistema ampliado , descobrir quantas soluções o sistema possui e, por fim, expressar todas as soluções possíveis. Para isso, vamos precisar usar operações com matrizes para simplificar e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada (A mid B) = (ccccc|c 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 2 3 & 4 & 5 & 3 & 4 & 6 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 2 ) :

Passo 3

Agora, vamos reduzir a matriz aumentada para a forma escalonada usando operações com linhas. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 na primeira linha, primeira coluna).
  • Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 3R1 Rightarrow (3-3cdot1, 4-3cdot2, 5-3cdot3, 3-3cdot1, 4-3cdot2, 6-3cdot2) = (0, -2, -4, 0, -2, 0)
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - R1 Rightarrow (1-1, 0-2, -1-3, 1-1, 0-2, 2-2) = (0, -2, -4, 0, -2, 0)
A matriz agora fica:
(ccccc|c 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 2 0 & -2 & -4 & 0 & -2 & 0 0 & -2 & -4 & 0 & -2 & 0 )

Passo 4

Percebemos que a segunda e terceira linhas são iguais. Vamos eliminar a terceira linha subtraindo a segunda dela:
R3 = R3 - R2 Rightarrow (0-0, -2-(-2), -4-(-4), 0-0, -2-(-2), 0-0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)
Agora, a matriz fica:
(ccccc|c 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 2 0 & -2 & -4 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por -2 para facilitar:
R2 = R2-2 Rightarrow (0, 1, 2, 0, 1, 0)
A matriz agora está:
(ccccc|c 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 6

Vamos eliminar o 2 da primeira linha na segunda coluna usando a segunda linha:
R1 = R1 - 2R2 Rightarrow (1 - 2cdot0, 2 - 2cdot1, 3 - 2cdot2, 1 - 2cdot0, 2 - 2cdot1, 2 - 2cdot0) = (1, 0, -1, 1, 0, 2)
A matriz reduzida fica:
(ccccc|c 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 7

Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos determinar os postos:
  • O posto da matriz é o número de linhas não nulas na matriz reduzida de , que aqui é 2.
  • O posto da matriz aumentada também é 2, já que não houve inconsistências.
Como os postos são iguais e menores que o número de incógnitas (5), o sistema possui infinitas soluções.

Passo 8

Vamos expressar as soluções. As variáveis correspondentes às colunas sem pivôs serão as livres. Observando a matriz reduzida, as colunas 3, 4 e 5 não têm pivôs, então x1 - x3 + x4 = 2 x2 + 2x3 + x5 = 0 e x1 = 2 + x3 - x4 serão livres.
Vamos escrever as equações correspondentes:
x2 = -2x3 - x5
Resolvendo para e :
As outras variáveis são livres e podem ser qualquer número real.

Resposta

O posto de x1 = 2 + x3 - x4 x2 = -2x3 - x5 x3 = livre x4 = livre x5 = livre é 2, o posto da matriz aumentada também é 2. Portanto, o sistema possui infinitas soluções. O conjunto de todas as soluções pode ser expresso como:
Onde podem ser quaisquer números reais.

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