Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
b) e B=(l2 6 2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear . Aqui, temos a matriz de dimensão e o vetor com 3 entradas. Nosso objetivo é calcular o posto de e do sistema ampliado , descobrir quantas soluções o sistema possui e, por fim, expressar todas as soluções possíveis. Para isso, vamos precisar usar operações com matrizes para simplificar e .
Agora, vamos reduzir a matriz aumentada para a forma escalonada usando operações com linhas. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 na primeira linha, primeira coluna).
Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos determinar os postos:
O posto da matriz é o número de linhas não nulas na matriz reduzida de , que aqui é 2.
O posto da matriz aumentada também é 2, já que não houve inconsistências.
Como os postos são iguais e menores que o número de incógnitas (5), o sistema possui infinitas soluções.
Passo 8
Vamos expressar as soluções. As variáveis correspondentes às colunas sem pivôs serão as livres. Observando a matriz reduzida, as colunas 3, 4 e 5 não têm pivôs, então x1 - x3 + x4 = 2 x2 + 2x3 + x5 = 0 e x1 = 2 + x3 - x4 serão livres.
Vamos escrever as equações correspondentes:
x2 = -2x3 - x5
Resolvendo para e :
As outras variáveis são livres e podem ser qualquer número real.
Resposta
O posto de x1 = 2 + x3 - x4 x2 = -2x3 - x5 x3 = livre x4 = livre x5 = livre é 2, o posto da matriz aumentada também é 2. Portanto, o sistema possui infinitas soluções. O conjunto de todas as soluções pode ser expresso como: