Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
d) e .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o sistema linear com a seguinte matriz e vetor :
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações lineares, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre postos de matrizes e sistemas compatíveis. Vamos calcular o posto da matriz , o posto da matriz aumentada , determinar quantas soluções o sistema tem e, por fim, encontrar todas as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada :
O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. Para encontrar o posto, vamos reduzir a matriz para a forma escalonada usando operações elementares de linha.
Passo 3
Vamos começar com a matriz aumentada :
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 dividindo a primeira linha por 25:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna:
Calculando:
A matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar as linhas 2 e 3 dividindo pela constante que multiplica o termo principal:
A matriz agora é:
Passo 6
Vamos eliminar o termo na segunda coluna da terceira linha subtraindo a segunda linha da terceira:
A matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos tornar o elemento da terceira coluna igual a 1 dividindo a terceira linha por -0.0925:
A matriz escalonada é:
Passo 8
Com a matriz em forma escalonada, podemos identificar os postos:
Posto de : É o número de linhas não nulas na matriz . Aqui, temos 3 linhas não nulas, então .
Posto de : Também é 3, pois todas as linhas continuam não nulas na matriz aumentada.
Passo 9
Como o posto de é igual ao posto de e ambos são iguais ao número de incógnitas (3), o sistema possui uma única solução.
Passo 10
Vamos agora resolver o sistema usando a matriz escalonada: