Considere o sistema linear A X=B, onde A e B são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de (A mid B), posto de A, diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
d) A=(ccc25 & 5 & 1 64 & 8 & 1 144 & 12 & 1) e B=(l2 6 2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o sistema linear A = 25 & 5 & 1 64 & 8 & 1 144 & 12 & 1 , B = 2 6 2 com a seguinte matriz e vetor :
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações lineares, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre postos de matrizes e sistemas compatíveis. Vamos calcular o posto da matriz , o posto da matriz aumentada , determinar quantas soluções o sistema tem e, por fim, encontrar todas as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada (A mid B) = 25 & 5 & 1 & | & 2 64 & 8 & 1 & | & 6 144 & 12 & 1 & | & 2 :
O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. Para encontrar o posto, vamos reduzir a matriz para a forma escalonada usando operações elementares de linha.

Passo 3

Vamos começar com a matriz aumentada 25 & 5 & 1 & | & 2 64 & 8 & 1 & | & 6 144 & 12 & 1 & | & 2 :
R1 = 125 R1 Rightarrow 1 & 0.2 & 0.04 & | & 0.08 64 & 8 & 1 & | & 6 144 & 12 & 1 & | & 2
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 dividindo a primeira linha por 25:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna:
  • R2 = 64 & 8 & 1 & | & 6 - 64 times 1 & 0.2 & 0.04 & | & 0.08 = 0 & -4 & -1.56 & | & 1.48
  • R3 = 144 & 12 & 1 & | & 2 - 144 times 1 & 0.2 & 0.04 & | & 0.08 = 0 & -16 & -4.76 & | & -11.52
Calculando:
1 & 0.2 & 0.04 & | & 0.08 0 & -4 & -1.56 & | & 1.48 0 & -16 & -4.76 & | & -11.52
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as linhas 2 e 3 dividindo pela constante que multiplica o termo principal:
R2 = -14 R2 Rightarrow 0 & 1 & 0.39 & | & -0.37
R3 = -116 R3 Rightarrow 0 & 1 & 0.2975 & | & 0.72
A matriz agora é:
1 & 0.2 & 0.04 & | & 0.08 0 & 1 & 0.39 & | & -0.37 0 & 1 & 0.2975 & | & 0.72

Passo 6

Vamos eliminar o termo na segunda coluna da terceira linha subtraindo a segunda linha da terceira:
R3 = R3 - R2 Rightarrow 0 & 0 & -0.0925 & | & 1.09
A matriz fica:
1 & 0.2 & 0.04 & | & 0.08 0 & 1 & 0.39 & | & -0.37 0 & 0 & -0.0925 & | & 1.09

Passo 7

Agora, vamos tornar o elemento da terceira coluna igual a 1 dividindo a terceira linha por -0.0925:
R3 = 1-0.0925 R3 Rightarrow 0 & 0 & 1 & | & -11.78
A matriz escalonada é:
1 & 0.2 & 0.04 & | & 0.08 0 & 1 & 0.39 & | & -0.37 0 & 0 & 1 & | & -11.78

Passo 8

Com a matriz em forma escalonada, podemos identificar os postos:
  • Posto de : É o número de linhas não nulas na matriz . Aqui, temos 3 linhas não nulas, então .
  • Posto de : Também é 3, pois todas as linhas continuam não nulas na matriz aumentada.

Passo 9

Como o posto de é igual ao posto de e ambos são iguais ao número de incógnitas (3), o sistema possui uma única solução.

Passo 10

Vamos agora resolver o sistema usando a matriz escalonada:
  1. Da terceira linha:
    x3 = -11.78
  2. Da segunda linha:
    x2 + 0.39x3 = -0.37 x2 + 0.39(-11.78) = -0.37 x2 - 4.5862 = -0.37 x2 = 4.2162
  3. Da primeira linha:
    x1 + 0.2x2 + 0.04x3 = 0.08 x1 + 0.2(4.2162) + 0.04(-11.78) = 0.08 x1 + 0.84324 - 0.4712 = 0.08 x1 + 0.37204 = 0.08 x1 = -0.29204

Resposta

O sistema possui uma única solução:
x1 = -0.292, x2 = 4.216, x3 = -11.78
Ou, de forma vetorial:
X = -0.292 4.216 -11.78

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