Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
c) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de sistema linear . Aqui, é uma matriz de e é um vetor coluna de 3 linhas. O que precisamos descobrir é o posto de , o posto da matriz aumentada , quantas soluções o sistema tem e quais são essas soluções. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema e encontrar essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos formar a matriz aumentada juntando e :
Agora, nosso objetivo é reduzir essa matriz para a forma escalonada reduzida, ou seja, simplificar os elementos abaixo e acima dos pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha).
Passo 3
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô, que é o “1” na primeira linha e primeira coluna. Para isso:
Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Subtraia a primeira linha da terceira linha:
A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -2 para facilitar:
A matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do pivô da segunda coluna na terceira linha. Para isso, some 2 vezes a segunda linha à terceira linha:
A matriz fica:
Passo 6
Observamos que na terceira linha temos , o que é uma contradição. Isso significa que o sistema não tem solução, ou seja, é inconsistente.
Resposta
O posto de é 2, o posto da matriz aumentada é 3. Como o posto da matriz aumentada é maior que o posto de , o sistema não possui solução.