Considere o sistema linear A X=B, onde A e B são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de (A mid B), posto de A, diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
c) A=(ccccc1 & 2 & 3 & 1 & 2 3 & 4 & 5 & 3 & 4 1 & 0 & -1 & 1 & 0) e B=(l1 0 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de sistema linear A X = B. Aqui, A é uma matriz de 3 times 5 e B é um vetor coluna de 3 linhas. O que precisamos descobrir é o posto de A, o posto da matriz aumentada (A mid B), quantas soluções o sistema tem e quais são essas soluções. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema e encontrar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a matriz aumentada (A mid B) juntando A e B:
(A mid B) = (ccccc|c 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 3 & 4 & 5 & 3 & 4 & 0 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 )
Agora, nosso objetivo é reduzir essa matriz para a forma escalonada reduzida, ou seja, simplificar os elementos abaixo e acima dos pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha).

Passo 3

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô, que é o “1” na primeira linha e primeira coluna. Para isso:
  • Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha: R2 = R2 - 3R1 R2 = [3 ; 4 ; 5 ; 3 ; 4 ; 0] - 3[1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 2 ; 1] = [0 ; -2 ; -4 ; 0 ; -2 ; -3]
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha: R3 = R3 - R1 R3 = [1 ; 0 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0] - [1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 2 ; 1] = [0 ; -2 ; -4 ; 0 ; -2 ; -1]
A matriz fica assim:
(ccccc|c 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 0 & -2 & -4 & 0 & -2 & -3 0 & -2 & -4 & 0 & -2 & -1 )

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -2 para facilitar:
R2 = R2-2 = [0 ; 1 ; 2 ; 0 ; 1 ; 1.5]
A matriz fica:
(ccccc|c 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1.5 0 & -2 & -4 & 0 & -2 & -1 )

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do pivô da segunda coluna na terceira linha. Para isso, some 2 vezes a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + 2R2 = [0 ; -2 ; -4 ; 0 ; -2 ; -1] + 2[0 ; 1 ; 2 ; 0 ; 1 ; 1.5] = [0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2]
A matriz fica:
(ccccc|c 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1.5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 )

Passo 6

Observamos que na terceira linha temos 0 = 2, o que é uma contradição. Isso significa que o sistema não tem solução, ou seja, é inconsistente.

Resposta

O posto de A é 2, o posto da matriz aumentada (A mid B) é 3. Como o posto da matriz aumentada é maior que o posto de A, o sistema não possui solução.

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