Calcule o lado de um octaedro regular inscrito numa esfera de raio .
Passo 1
Vamos entender o problema: precisamos calcular o comprimento de uma aresta de um octaedro regular que está inscrito numa esfera de raio . Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com poliedros regulares e suas relações com circunscrições de esferas.
Passo 2
Um octaedro regular possui 8 faces triangulares iguais e 6 vértices. Quando está inscrito numa esfera, todos os seus vértices estão à mesma distância do centro, que é o raio da esfera.
Passo 3
Para encontrar o comprimento da aresta , podemos usar coordenadas. Vamos posicionar o octaedro de forma que seus vértices estejam nos pontos , e .
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo, entre e . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Passo 5
Aplicando os valores:
Resposta
O comprimento da aresta do octaedro regular inscrito na esfera é .
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