Calcule o lado de um octaedro regular inscrito numa esfera de raio r.

Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos calcular o comprimento de uma aresta de um octaedro regular que está inscrito numa esfera de raio . Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com poliedros regulares e suas relações com circunscrições de esferas.

Passo 2

Um octaedro regular possui 8 faces triangulares iguais e 6 vértices. Quando está inscrito numa esfera, todos os seus vértices estão à mesma distância do centro, que é o raio da esfera.

Passo 3

Para encontrar o comprimento da aresta , podemos usar coordenadas. Vamos posicionar o octaedro de forma que seus vértices estejam nos pontos , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo, entre l = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:

Passo 5

Aplicando os valores:
l = raiz(0 - r)^2 + (r - 0)^2 + (0 - 0)^2 = raizr^2 + r^2 = raiz2r^2 = rraiz2

Resposta

O comprimento da aresta do octaedro regular inscrito na esfera é .

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