Duas esferas de metal de raios 2 cm e 3 cm foram fundidas e trasforamadas em uma nova esfera. Qual o raio da nova esfera?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas esferas de metal, uma com raio de 2 cm e outra com raio de 3 cm. Essas duas esferas foram fundidas e transformadas em uma nova esfera. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio dessa nova esfera. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de volume das esferas. Vamos precisar saber a fórmula do volume da esfera e como somar esses volumes para encontrar o raio final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o volume de uma esfera. O volume de uma esfera com raio é dado por:
Essa fórmula nos ajuda a determinar quanto espaço uma esfera ocupa.

Passo 3

Vamos calcular o volume da primeira esfera, que tem raio de 2 cm. Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume da segunda esfera, com raio de 3 cm:

Passo 5

Como as duas esferas foram fundidas, o volume total da nova esfera será a soma dos volumes das duas originais:
Para facilitar, vamos converter para ter o mesmo denominador:
Então:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o raio da nova esfera que tem esse volume total. Usamos novamente a fórmula do volume da esfera e resolvemos para :
Substituindo :

Passo 7

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por :
As e o cancelam:

Passo 8

Finalmente, para encontrar , tiramos a raiz cúbica de 35:

Resposta

O raio da nova esfera é aproximadamente 3,27 cm.

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