Duas esferas de metal de raios 2 cm e 3 cm foram fundidas e trasforamadas em uma nova esfera. Qual o raio da nova esfera?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas esferas de metal, uma com raio de 2 cm e outra com raio de 3 cm. Essas duas esferas foram fundidas e transformadas em uma nova esfera. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio dessa nova esfera. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de volume das esferas. Vamos precisar saber a fórmula do volume da esfera e como somar esses volumes para encontrar o raio final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o volume de uma esfera. O volume V = 43 pi r^3 de uma esfera com raio é dado por:
Essa fórmula nos ajuda a determinar quanto espaço uma esfera ocupa.

Passo 3

Vamos calcular o volume da primeira esfera, que tem raio de 2 cm. Aplicando a fórmula:
V1 = 43 pi (2)^3 = 43 pi times 8 = 323 pi , cm^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume da segunda esfera, com raio de 3 cm:
V2 = 43 pi (3)^3 = 43 pi times 27 = 36 pi , cm^3

Passo 5

Como as duas esferas foram fundidas, o volume total da nova esfera será a soma dos volumes das duas originais:
Vtotal = V1 + V2 = 323 pi + 36 pi
Para facilitar, vamos converter 36 pi = 1083 pi para ter o mesmo denominador:
Vtotal = 323 pi + 1083 pi = 1403 pi , cm^3
Então:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o raio Vtotal = 43 pi R^3 da nova esfera que tem esse volume total. Usamos novamente a fórmula do volume da esfera e resolvemos para 1403 pi = 43 pi R^3 :
Substituindo :

Passo 7

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por R^3 = 1403 pi43 pi :
R^3 = 1404 = 35
As e o cancelam:

Passo 8

Finalmente, para encontrar R = raiz[3]35 approx 3,27 , cm , tiramos a raiz cúbica de 35:

Resposta

O raio da nova esfera é aproximadamente 3,27 cm.

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