Duas esferas de metal de raios 2 cm e 3 cm foram fundidas e trasforamadas em uma nova esfera. Qual o raio da nova esfera?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas esferas de metal, uma com raio de 2 cm e outra com raio de 3 cm. Essas duas esferas foram fundidas e transformadas em uma nova esfera. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio dessa nova esfera. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de volume das esferas. Vamos precisar saber a fórmula do volume da esfera e como somar esses volumes para encontrar o raio final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o volume de uma esfera. O volume
de uma esfera com raio
é dado por:
Essa fórmula nos ajuda a determinar quanto espaço uma esfera ocupa.
Passo 3
Vamos calcular o volume da primeira esfera, que tem raio de 2 cm. Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume da segunda esfera, com raio de 3 cm:
Passo 5
Como as duas esferas foram fundidas, o volume total da nova esfera será a soma dos volumes das duas originais:
Para facilitar, vamos converter
para ter o mesmo denominador:
Então:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o raio
da nova esfera que tem esse volume total. Usamos novamente a fórmula do volume da esfera e resolvemos para
:
Substituindo
:
Passo 7
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
As
e o
cancelam:
Passo 8
Finalmente, para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de 35:
Resposta
O raio da nova esfera é aproximadamente 3,27 cm.
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, área lateral
e área total
, vale:
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