Mostre que para um cone reto de volume
, área lateral
e área total
, vale:
Passo 1
Beleza, pessoal! O exercício pede para mostrar que, em um cone reto com volume
, área lateral
e área total
, a seguinte relação é verdadeira:
Vamos resolver isso passo a passo! Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar para trabalhar com o cone reto.
Passo 2
Entendendo as Fórmulas do Cone Reto
Um cone reto é aquele cuja base é um círculo e o eixo é perpendicular à base. As principais medidas que vamos usar são:
-
Volume
: Ondeé o raio da base e é a altura do cone. -
Área Lateral
: Aqui,é a geratriz do cone, que é a distância do vértice até qualquer ponto da circunferência da base. Podemos encontrar usando o teorema de Pitágoras: -
Área Total
:
Com essas fórmulas em mente, vamos prosseguir para relacioná-las conforme o que o exercício pede.
Passo 3
Expressando Todas as Variáveis em Termos de
e
Primeiro, vamos reescrever todas as expressões em função de
e
:
-
Volume:
-
Área Lateral:
-
Área Total:
Agora, nosso objetivo é manipular essas equações para chegar na relação
.
Passo 4
Calculando
Vamos calcular o lado esquerdo da equação proposta:
Passo 5
Calculando
Agora, vamos calcular o lado direito da equação:
Primeiro, encontramos
e
:
Agora, multiplicando tudo:
Vamos simplificar:
Observando que
, temos:
Passo 6
Comparando Ambos os Lados
Vimos que:
E também:
Portanto, ambos os lados são iguais!
Resposta
Assim, mostramos que para um cone reto,
é uma igualdade verdadeira.
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.
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, que foi cortado por um plano paralelo a sua base na altura
.