Mostre que para um cone reto de volume V, área lateral A e área total S, vale:
9 pi V^2=S(S-A)(2 A-S)

Passo 1

Beleza, pessoal! O exercício pede para mostrar que, em um cone reto com volume 9 pi V^2 = S(S - A)(2A - S) , área lateral e área total , a seguinte relação é verdadeira:
Vamos resolver isso passo a passo! Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar para trabalhar com o cone reto.

Passo 2

Entendendo as Fórmulas do Cone Reto
Um cone reto é aquele cuja base é um círculo e o eixo é perpendicular à base. As principais medidas que vamos usar são:
  1. Volume V = 13 pi r^2 h :
    A = pi r l
    Onde l = raizr^2 + h^2 é o raio da base e S = A + Área da Base = pi r l + pi r^2 é a altura do cone.
  2. Área Lateral :
    Aqui, é a geratriz do cone, que é a distância do vértice até qualquer ponto da circunferência da base. Podemos encontrar usando o teorema de Pitágoras:
  3. Área Total :
    Á
Com essas fórmulas em mente, vamos prosseguir para relacioná-las conforme o que o exercício pede.

Passo 3

Expressando Todas as Variáveis em Termos de V = 13 pi r^2 h e A = pi r l = pi r raizr^2 + h^2
Primeiro, vamos reescrever todas as expressões em função de S = pi r raizr^2 + h^2 + pi r^2 = pi r ( raizr^2 + h^2 + r ) e :
  1. Volume:
  2. Área Lateral:
  3. Área Total:
Agora, nosso objetivo é manipular essas equações para chegar na relação .

Passo 4

Calculando 9 pi V^2 = 9 pi ( 13 pi r^2 h )^2 = 9 pi ( 19 pi^2 r^4 h^2 ) = pi cdot pi^2 r^4 h^2 = pi^3 r^4 h^2
Vamos calcular o lado esquerdo da equação proposta:

Passo 5

Calculando S - A = pi r ( raizr^2 + h^2 + r ) - pi r raizr^2 + h^2 = pi r^2
Agora, vamos calcular o lado direito da equação:
Primeiro, encontramos 2A - S = 2 pi r raizr^2 + h^2 - pi r ( raizr^2 + h^2 + r ) = pi r raizr^2 + h^2 - pi r^2 e S(S - A)(2A - S) = [ pi r ( raizr^2 + h^2 + r ) ] cdot ( pi r^2 ) cdot ( pi r raizr^2 + h^2 - pi r^2 ) :
= pi r ( raizr^2 + h^2 + r ) cdot pi r^2 cdot ( pi r raizr^2 + h^2 - pi r^2 )
= pi^3 r^4 ( raizr^2 + h^2 + r ) ( raizr^2 + h^2 - r )
Agora, multiplicando tudo:
= pi^3 r^4 ( (raizr^2 + h^2)^2 - r^2 ) = pi^3 r^4 (r^2 + h^2 - r^2) = pi^3 r^4 h^2
Vamos simplificar:
Observando que , temos:

Passo 6

Comparando Ambos os Lados
Vimos que:
9 pi V^2 = pi^3 r^4 h^2
E também:
S(S - A)(2A - S) = pi^3 r^4 h^2
Portanto, ambos os lados são iguais!

Resposta

Assim, mostramos que para um cone reto,
9 pi V^2 = S(S - A)(2A - S)
é uma igualdade verdadeira.

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