Mostre que para um cone reto de volume , área lateral e área total , vale:

Passo 1

Beleza, pessoal! O exercício pede para mostrar que, em um cone reto com volume , área lateral e área total , a seguinte relação é verdadeira:
Vamos resolver isso passo a passo! Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar para trabalhar com o cone reto.

Passo 2

Entendendo as Fórmulas do Cone Reto
Um cone reto é aquele cuja base é um círculo e o eixo é perpendicular à base. As principais medidas que vamos usar são:
  1. Volume :
    Onde é o raio da base e é a altura do cone.
  2. Área Lateral :
    Aqui, é a geratriz do cone, que é a distância do vértice até qualquer ponto da circunferência da base. Podemos encontrar usando o teorema de Pitágoras:
  3. Área Total :
    Á
Com essas fórmulas em mente, vamos prosseguir para relacioná-las conforme o que o exercício pede.

Passo 3

Expressando Todas as Variáveis em Termos de e
Primeiro, vamos reescrever todas as expressões em função de e :
  1. Volume:
  2. Área Lateral:
  3. Área Total:
Agora, nosso objetivo é manipular essas equações para chegar na relação .

Passo 4

Calculando
Vamos calcular o lado esquerdo da equação proposta:

Passo 5

Calculando
Agora, vamos calcular o lado direito da equação:
Primeiro, encontramos e :
Agora, multiplicando tudo:
Vamos simplificar:
Observando que , temos:

Passo 6

Comparando Ambos os Lados
Vimos que:
E também:
Portanto, ambos os lados são iguais!

Resposta

Assim, mostramos que para um cone reto,
é uma igualdade verdadeira.

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