Uma esfera, um cilindro e um cone têm o mesmo volume e o mesmo raio. Calcule a razão entre a altura do cilindro e a do cone.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma esfera, um cilindro e um cone que têm o mesmo volume e o mesmo raio. Nosso objetivo é descobrir qual é a razão entre a altura do cilindro e a do cone. Para isso, vamos precisar das fórmulas de volume de cada um desses sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas de volume para cada forma geométrica:
  • Esfera:
  • Cilindro: (onde é a altura do cilindro)
  • Cone: (onde é a altura do cone)

Passo 3

Como todos têm o mesmo volume e o mesmo raio, podemos igualar as fórmulas:
Para o cilindro e a esfera:
pi r^2 hc = 43 pi r^3
Para o cone e a esfera:
13 pi r^2 hk = 43 pi r^3

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar pi r^2 hc = 43 pi r^3 e hc = 43 r :
Para o cilindro:
13 pi r^2 hk = 43 pi r^3
Dividindo ambos os lados por pi r^2 hk = 4 pi r^3 :
hk = 4 r
Para o cone:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, queremos a razão entre a altura do cilindro e a do cone, ou seja, hchk = 43 r4 r = 43 div 4 = 13 :

Resposta

A razão entre a altura do cilindro e a do cone é .

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