Uma esfera, um cilindro e um cone têm o mesmo volume e o mesmo raio. Calcule a razão entre a altura do cilindro e a do cone.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma esfera, um cilindro e um cone que têm o mesmo volume e o mesmo raio. Nosso objetivo é descobrir qual é a razão entre a altura do cilindro e a do cone. Para isso, vamos precisar das fórmulas de volume de cada um desses sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas de volume para cada forma geométrica:
- Esfera:
- Cilindro:
(onde é a altura do cilindro) - Cone:
(onde é a altura do cone)
Passo 3
Como todos têm o mesmo volume e o mesmo raio, podemos igualar as fórmulas:
Para o cilindro e a esfera:
Para o cone e a esfera:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar
e
:
Para o cilindro:
Dividindo ambos os lados por
:
Para o cone:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, queremos a razão entre a altura do cilindro e a do cone, ou seja,
:
Resposta
A razão entre a altura do cilindro e a do cone é
.
Exercícios relacionados
A área total de um cilindro de raio
e altura
é o triplo da área lateral de um outro cilindro de raio
e altura
. Calcule
em função de
.
Calcule o volume e área de superíficie um cilindro reto de altura 8 cm e base 10 cm que é cortado ao meio por um corte que é perpendicular ao segmento que liga os centros das bases.
Calcule o lado de um octaedro regular inscrito numa esfera de raio
.
Mostre que para um cone reto de volume
, área lateral
e área total
, vale: